Sejam
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas as funções
e
e um conjunto
, vale a igualdade de pré-imagens
Para isso vamos usar a definição de pré-imagem: para qualquer função
e conjunto
em seu contradomínio,
Passo 2
Mostramos primeiro
. Seja
.
Por definição de pré-imagem
Por definição de pré-imagem
Mas
, então
.
Isso significa .
Novamente pela definição de pré-imagem segue
Isso significa
Novamente pela definição de pré-imagem segue
Passo 3
Agora mostramos
. Seja
.
Então, por definição, , ou seja
Então, por definição,
Logo
, o que diz que
Passo 4
Como provamos as duas inclusões
concluímos que os conjuntos são iguais.