Sejam f: X Y, g: Y Z, A subset X e V subset Z. Mostre que
(g circ f)^-1(V)=f^-1(g^-1(V)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas as funções fcolon Xto Y e gcolon Yto Z e um conjunto Vsubset Z, vale a igualdade de pré-imagens
(gcirc f)^-1(V) ;=; f^-1l(g^-1(V)r)
Para isso vamos usar a definição de pré-imagem: para qualquer função h e conjunto W em seu contradomínio,
h^-1(W)=,xmid h(x)in W

Passo 2

Mostramos primeiro (gcirc f)^-1(V)subset f^-1(g^-1(V)). Seja xin (gcirc f)^-1(V).
Por definição de pré-imagem
(gcirc f)(x)in V
Mas (gcirc f)(x)=gl(f(x)r), então gl(f(x)r)in V.
Isso significa f(x)in g^-1(V).
Novamente pela definição de pré-imagem segue
xin f^-1l(g^-1(V)r)

Passo 3

Agora mostramos f^-1(g^-1(V))subset (gcirc f)^-1(V). Seja xin f^-1(g^-1(V)).
Então, por definição, f(x)in g^-1(V), ou seja
gl(f(x)r)in V
Logo (gcirc f)(x)in V, o que diz que
xin (gcirc f)^-1(V)

Passo 4

Como provamos as duas inclusões
(gcirc f)^-1(V)subset f^-1l(g^-1(V)r) e f^-1l(g^-1(V)r)subset (gcirc f)^-1(V),
concluímos que os conjuntos são iguais.

Resposta

(gcirc f)^-1(V)=f^-1l(g^-1(V)r)

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