Determine o maior y tal que v1=(1,0, y / 3), v2=(2,1,4) e v3= (y / 2,1, y) são coplanares

Passo 1

O enunciado pede para achar o maior valor de y tal que os vetores
vec v1=(1,0,tfracy3), vec v2=(2,1,4) e vec v3=(tfracy2,1,y) sejam coplanares. O conteúdo usado será álgebra linear: vetores são coplanares se e somente se o produto misto (ou determinante formado por eles) for zero.

Passo 2

A condição de coplanaridade é
detl[vec v1,vec v2,vec v3r] =0
ou, equivalentemente, vec v1cdot(vec v2timesvec v3)=0.

Passo 3

Primeiro calculamos vec v2timesvec v3. Usando a regra de Sarrus ou a definição de determinante 3times 3,
vec v2timesvec v3 =l(1cdot y - 4cdot1,; -(2cdot y - 4cdottfracy2),; 2cdot1 - 1cdottfracy2r) =(y-4,;0,;2-tfracy2)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar com vec v1:
vec v1cdot(vec v2timesvec v3) =1cdot(y-4)+0cdot0+tfracy3l(2-tfracy2r) =(y-4)+tfrac2y3-tfracy^26
A condição de coplanaridade impõe
(y-4)+tfrac2y3-tfracy^26=0

Passo 5

Multiplicando tudo por 6 para eliminar denominadores:
6(y-4)+4y - y^2 = 0 Longrightarrow 6y-24+4y - y^2=0 Longrightarrow -y^2+10y-24=0
ou
y^2-10y+24=0
As raízes dessa equação quadrática são
y=10pmraiz100-962 =10pm22,
isto é, y=4 e y=6.

Passo 6

Como a questão pede o maior valor de y que garante coplanaridade, escolhemos
y=6

Resposta

6

Exercícios relacionados