Seja V=M2 times 2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=(lla & b c & d) in M2 times 2 ; a+d <= d+c.

Passo 1

O enunciado diz que V=M2times2 (o espaço de todas as matrizes 2times2) e define
W = a & b c & din M2times2 ;midd<=|; a+d <= d+c
Note que a condição a+d <= d+c é equivalent a
a <= c
Para ver se W é subespaço de V, vamos verificar três propriedades: (i) 0in W, (ii) fechadura em relação à soma e (iii) fechadura em relação à multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (a matriz nula) está em W. A matriz nula é
0 = 0 & 0 0 & 0,
para a qual a=0 e c=0. Como 0 <= 0, concluímos que 0in W.

Passo 3

Testamos fechadura sob adição. Se
A=a1 & b1 c1 & d1in W e B=a2 & b2 c2 & d2in W,
então a1<= c1 e a2<= c2. Somando essas desigualdades vem
a1 + a2 ;<=; c1 + c2,
ou seja, a matriz A+B satisfaz a<= c e portanto A+Bin W. Logo W é fechado sob soma.

Passo 4

Testamos fechadura sob multiplicação escalar. Seja um escalar lambdainR e
A=a & b c & din W,
ou seja, a<= c. Para lambda A temos entradas lambda a e lambda c. A condição seria
lambda a <= lambda c
Se lambda<0, essa desigualdade se inverte e geralmente não vale. Por exemplo, tome
A = 1 & 0 2 & 0,
onde 1<= 2 então Ain W. Mas para lambda=-1,
-1cdot 1 = -1 n<= -2 = -1cdot 2,
logo -Anotin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalares negativos.

Resposta

W não é subespaço de V, pois falha a propriedade de fechadura sob multiplicação escalar.

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