Seja V=R^4. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z=0 e t=0.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^4 e o subconjunto
W=(x,y,z,t)inR^4 mid x - y + z = 0, t=0
Queremos verificar se W é um subespaço de V. Para isso usamos o critério padrão: mostrar que
  1. 0in W,
  2. W é fechado em soma,
  3. W é fechado em multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que 0=(0,0,0,0) pertence a W. De fato,
0 - 0 + 0 = 0 e t=0
são satisfeitos por 0, logo 0in W.

Passo 3

Fechamento em soma. Seja
u=(x1,y1,z1,0)in W e v=(x2,y2,z2,0)in W,
isto é, x1-y1+z1=0 e x2-y2+z2=0. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;0+0)
Verificamos a condição em W:
(x1+x2)-(y1+y2)+(z1+z2) = (x1-y1+z1)+(x2-y2+z2) = 0+0 = 0
e o quarto componente é 0. Logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar. Seja alphainR e
u=(x,y,z,0)in W com x-y+z=0
Então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z,;alphacdot 0) = (alpha x,alpha y,alpha z,0)
E
alpha x - alpha y + alpha z = alpha,(x-y+z) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha uin W.

Resposta

O subconjunto W satisfaz os três requisitos (contém o vetor zero e é fechado em soma e em multiplicação escalar) e, portanto, é um subespaço de R^4.

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