Seja
. Verifique se os subconjuntos
de
são subespaços. Justifique suas respostas.
e
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos verificar se
é um subespaço de
. Para isso usamos o critério padrão: mostrar que
-
, -
é fechado em soma, -
é fechado em multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
pertence a
. De fato,
são satisfeitos por
, logo
.
Passo 3
Fechamento em soma. Seja
isto é,
e
. Então
Verificamos a condição em
:
e o quarto componente é
. Logo
.
Passo 4
Fechamento em multiplicação escalar. Seja
e
Então
E
logo
.
Resposta
O subconjunto
satisfaz os três requisitos (contém o vetor zero e é fechado em soma e em multiplicação escalar) e, portanto, é um subespaço de
.