Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. Isso pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente ao estudo de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das curvas originais e usar o conceito de perpendiculação entre as retas tangentes às curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva original em relação a
. Para isso, derivamos ambos os lados da equação
em relação a
:
Passo 3
Agora, isolamos
para obter a inclinação da tangente à curva original:
Passo 4
As trajetórias ortogonais têm tangentes que são perpendiculares às tangentes das curvas originais. Isso significa que as derivadas delas devem ser negativas umas das inversas das outras. Portanto, a derivada das trajetórias ortogonais é:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial:
Vamos separar as variáveis para resolver:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Passo 7
Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar
para outra constante, digamos
:
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas por
.