Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas x^2a^2+y^2b^2=1
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
x=1k ln |y|+c
y=k
x=a sen t+t, y=a cos t
x^2b^2+y^2a^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por x^2a^2 + y^2b^2 = 1. Isso pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente ao estudo de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das curvas originais e usar o conceito de perpendiculação entre as retas tangentes às curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva original em relação a x. Para isso, derivamos ambos os lados da equação x^2a^2 + y^2b^2 = 1 em relação a x:
2xa^2 + 2yb^2 cdot dydx = 0

Passo 3

Agora, isolamos dydx para obter a inclinação da tangente à curva original:
dydx = -b^2xa^2y

Passo 4

As trajetórias ortogonais têm tangentes que são perpendiculares às tangentes das curvas originais. Isso significa que as derivadas delas devem ser negativas umas das inversas das outras. Portanto, a derivada das trajetórias ortogonais é:
dydx = a^2yb^2x

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial:
dydx = a^2yb^2x
Vamos separar as variáveis para resolver:
dyy = a^2b^2 cdot dxx

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral 1y , dy = a^2b^2 integral 1x , dx
Isso resulta em:
ln |y| = a^2b^2 ln |x| + C

Passo 7

Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
y = e^C cdot x^a^2b^2
Podemos simplificar e^C para outra constante, digamos k:
y = k cdot x^a^2b^2

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas por y = k cdot x^a^2b^2.

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