Mostre que a curva alpha(t)=(t, raiz8+2 t-t^2, t+4),-2<t<4, é plana e está contida no cilindro (x-1)^2+y^2=9.
Ache a equação do plano que a contém.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a curva alpha(t) = (t, raiz8 + 2t - t^2, t + 4), onde t está entre -2 e 4, é plana e está dentro do cilindro (x - 1)^2 + y^2 = 9. Depois, temos que encontrar a equação do plano que contém essa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de cilindros e planos, e propriedades de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a curva está contida no cilindro dado. O cilindro tem a equação (x - 1)^2 + y^2 = 9. Vamos substituir os valores de x e y da nossa curva nessa equação.
Dado alpha(t) = (x, y, z), onde:
  • x = t
  • y = raiz8 + 2t - t^2
  • z = t + 4
Substituindo x = t e y = raiz8 + 2t - t^2 na equação do cilindro:
(t - 1)^2 + (raiz8 + 2t - t^2)^2 = 9

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
(t - 1)^2 + (8 + 2t - t^2) = 9
Expandindo (t - 1)^2:
t^2 - 2t + 1 + 8 + 2t - t^2 = 9
Observamos que t^2 e -t^2 se anulam, e -2t + 2t também se anulam:
1 + 8 = 9
9 = 9
Como a igualdade se mantém verdadeira para qualquer t no intervalo dado, isso confirma que a curva está de fato contida no cilindro (x - 1)^2 + y^2 = 9.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a curva é plana, ou seja, que todos os pontos da curva estão em um mesmo plano. Para isso, precisamos encontrar uma equação de plano na forma Ax + By + Cz + D = 0 que seja satisfeita por todos os pontos da curva alpha(t).
Suponha que a equação do plano seja Ax + By + Cz + D = 0. Precisamos encontrar os valores de A, B, C e D que tornam essa igualdade verdadeira para todos os valores de t.

Passo 5

Substituindo os valores de x, y e z da curva na equação do plano:
A(t) + B(raiz8 + 2t - t^2) + C(t + 4) + D = 0
Para simplificar, vamos tentar eliminar a raiz quadrada. Observando a expressão de y = raiz8 + 2t - t^2, elevando ambos os lados ao quadrado:
y^2 = 8 + 2t - t^2
Rearranjando:
t^2 - 2t + y^2 - 8 = 0
Isso nos dá uma relação entre t e y. Podemos tentar relacionar isso com a equação do plano.

Passo 6

Vamos assumir que o plano não depende de y, ou seja, que B = 0. Então, a equação do plano fica:
A t + C(t + 4) + D = 0
Simplificando:
(A + C)t + 4C + D = 0
Para que essa igualdade seja válida para qualquer t, os coeficientes de t e o termo constante devem ser iguais a zero:
A + C = 0
4C + D = 0
Isso nos dá duas equações:
  1. A = -C
  2. D = -4C
Podemos escolher um valor para C. Vamos escolher C = 1 para simplificar.
Então:
  • A = -1
  • D = -4
Portanto, a equação do plano fica:
-x + z - 4 = 0
Ou, rearranjando:
x - z + 4 = 0

Resposta

A equação do plano que contém a curva é x - z + 4 = 0.

Exercícios relacionados