Mostre que a curva
, é plana e está contida no cilindro
.
Ache a equação do plano que a contém.
Ache a equação do plano que a contém.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a curva
, onde
está entre
e
, é plana e está dentro do cilindro
. Depois, temos que encontrar a equação do plano que contém essa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de cilindros e planos, e propriedades de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a curva está contida no cilindro dado. O cilindro tem a equação
. Vamos substituir os valores de
e
da nossa curva nessa equação.
Dado
, onde:
Substituindo
e
na equação do cilindro:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão:
Expandindo
:
Observamos que
e
se anulam, e
também se anulam:
Como a igualdade se mantém verdadeira para qualquer
no intervalo dado, isso confirma que a curva está de fato contida no cilindro
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a curva é plana, ou seja, que todos os pontos da curva estão em um mesmo plano. Para isso, precisamos encontrar uma equação de plano na forma
que seja satisfeita por todos os pontos da curva
.
Suponha que a equação do plano seja
. Precisamos encontrar os valores de
,
,
e
que tornam essa igualdade verdadeira para todos os valores de
.
Passo 5
Substituindo os valores de
,
e
da curva na equação do plano:
Para simplificar, vamos tentar eliminar a raiz quadrada. Observando a expressão de
, elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Isso nos dá uma relação entre
e
. Podemos tentar relacionar isso com a equação do plano.
Passo 6
Vamos assumir que o plano não depende de
, ou seja, que
. Então, a equação do plano fica:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para qualquer
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais a zero:
Isso nos dá duas equações:
Podemos escolher um valor para
. Vamos escolher
para simplificar.
Então:
Portanto, a equação do plano fica:
Ou, rearranjando:
Resposta
A equação do plano que contém a curva é
.