Determine
de maneira que
b. Determine
de maneira que
.
Passo 1
O enunciado dá duas igualdades em que um número em base decimal é escrito como uma representação em uma base desconhecida
. São elas:
O pedido é: determinar o valor de
em cada igualdade. Informações relevantes que já vemos no enunciado:
- Na primeira representação os dígitos usados são
, então qualquer base válida deve ser maior que o maior dígito (portanto ). - Na segunda representação os dígitos usados são
, então a base deve satisfazer .
Nada mais é pedido além de encontrar os valores deque tornam as igualdades verdadeiras.
Passo 2
Lembra como funciona a notação posicional: um número escrito em base
com dígitos
vale
Aqui cada
é um dígito inteiro com
. Vou usar essa fórmula para transformar cada representação em uma equação em
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao primeiro caso
: os dígitos correspondem a
,
,
. Portanto
Como o enunciado diz que isso vale
, obtemos a equação
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
. Para quadráticas usamos a fórmula quadrática; primeiro o discriminante:
A raiz quadrada de
é
. As soluções da quadrática são
Isso dá duas raízes:
e
Como base deve ser um inteiro positivo e maior que o maior dígito (no caso
), descartamos
e ficamos com
.
Passo 5
Verificação rápida do primeiro caso: substituindo
,
logo está correto e respeita
. Portanto a primeira resposta é
.
Passo 6
Agora o segundo caso:
tem dígitos
correspondendo às potências
. Pela fórmula posicional:
O enunciado diz que isso vale
, então
Dividindo ambos os lados por
para simplificar:
Reescrevendo:
Passo 7
Para resolver
tentamos raízes inteiras (teorema das raízes racionais sugere testar divisores de
:
). Testando
:
Logo
é uma raiz. Isso nos permite fatorar o polinômio por divisão ou reconhecimento:
As outras raízes vêm do quadrático
, mas seu discriminante é
, ou seja, raízes complexas. Como queremos uma base real inteira e maior que os dígitos (aqui o maior dígito é
), a única solução válida é
.
Passo 8
Verificação rápida do segundo caso: com
,
e
, então é válido.
Resposta
7
3
3