Determine b de maneira que 79=(142) b. Determine b de maneira que 72=(2200) \mathrm{b}.

Passo 1

O enunciado dá duas igualdades em que um número em base decimal é escrito como uma representação em uma base desconhecida b. São elas:
79 = (142)_b
72 = (2200)_b
O pedido é: determinar o valor de b em cada igualdade. Informações relevantes que já vemos no enunciado:
  • Na primeira representação os dígitos usados são 1,4,2, então qualquer base válida deve ser maior que o maior dígito (portanto b>4).
  • Na segunda representação os dígitos usados são 2,2,0,0, então a base deve satisfazer b>2.
    Nada mais é pedido além de encontrar os valores de b que tornam as igualdades verdadeiras.

Passo 2

Lembra como funciona a notação posicional: um número escrito em base b com dígitos d_k d_{k-1}\dots d_1 d_0 vale
d_k b^k + d_{k-1} b^{k-1} + \cdots + d_1 b + d_0.
Aqui cada d_i é um dígito inteiro com 0 \le d_i < b. Vou usar essa fórmula para transformar cada representação em uma equação em b.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao primeiro caso (142)_b: os dígitos correspondem a d_2=1, d_1=4, d_0=2. Portanto
(142)_b = 1\cdot b^2 + 4\cdot b + 2.
Como o enunciado diz que isso vale 79, obtemos a equação
1\cdot b^2 + 4\cdot b + 2 = 79.
Subtraindo 79 dos dois lados:
b^2 + 4b + 2 - 79 = 0
b^2 + 4b - 77 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática b^2 + 4b - 77 = 0. Para quadráticas usamos a fórmula quadrática; primeiro o discriminante:
\Delta = 4^2 - 4\cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324.
A raiz quadrada de 324 é 18. As soluções da quadrática são
b = \frac{-4 \pm 18}{2}.
Isso dá duas raízes:
b = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7
e
b = \frac{-4 - 18}{2} = \frac{-22}{2} = -11.
Como base deve ser um inteiro positivo e maior que o maior dígito (no caso >4), descartamos -11 e ficamos com b=7.

Passo 5

Verificação rápida do primeiro caso: substituindo b=7,
1\cdot 7^2 + 4\cdot 7 + 2 = 49 + 28 + 2 = 79,
logo está correto e respeita b>4. Portanto a primeira resposta é b=7.

Passo 6

Agora o segundo caso: (2200)_b tem dígitos 2,2,0,0 correspondendo às potências b^3,b^2,b^1,b^0. Pela fórmula posicional:
(2200)_b = 2\cdot b^3 + 2\cdot b^2 + 0\cdot b + 0 = 2b^3 + 2b^2.
O enunciado diz que isso vale 72, então
2b^3 + 2b^2 = 72.
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
b^3 + b^2 = 36.
Reescrevendo:
b^3 + b^2 - 36 = 0.

Passo 7

Para resolver b^3 + b^2 - 36 = 0 tentamos raízes inteiras (teorema das raízes racionais sugere testar divisores de 36: \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm9,\pm12,\pm18,\pm36). Testando b=3:
3^3 + 3^2 - 36 = 27 + 9 - 36 = 0.
Logo b=3 é uma raiz. Isso nos permite fatorar o polinômio por divisão ou reconhecimento:
b^3 + b^2 - 36 = (b-3)(b^2 + 4b + 12).
As outras raízes vêm do quadrático b^2+4b+12=0, mas seu discriminante é \Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot12 = 16 - 48 = -32, ou seja, raízes complexas. Como queremos uma base real inteira e maior que os dígitos (aqui o maior dígito é 2), a única solução válida é b=3.

Passo 8

Verificação rápida do segundo caso: com b=3,
2\cdot 3^3 + 2\cdot 3^2 = 2\cdot 27 + 2\cdot 9 = 54 + 18 = 72,
e b=3>2, então é válido.

Resposta

7
3

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