Determine a margem de erro e o intervalo de confiança para:
\mathrm{NC}=90 \%; n=150; \overline{\mathrm{x}}=77,6 ; \sigma=14,2

Passo 1

O enunciado nos dá amostra de tamanho n=150, média amostral \overline{x}=77,6 e desvio padrão populacional \sigma=14,2. Queremos a margem de erro e o intervalo de confiança de 90\% para a média populacional. Isso envolve usar a distribuição normal padrão e o conceito de margem de erro já que \sigma é conhecido.

Passo 2

O nível de significância é
\alpha = 1 - 0,90 = 0,10,
como o intervalo é bilateral, dividimos ao meio:
\alpha/2 = 0,05.
O valor crítico da normal padrão que deixa 5\% de cada lado é
z_{\alpha/2} = z_{0,05} = 1,645.

Passo 3

A fórmula da margem de erro é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Substituindo os valores:
E = 1,645 \times \frac{14,2}{\sqrt{150}} \approx 1,645 \times \frac{14,2}{12,247} \approx 1,645 \times 1,1588 \approx 1,91.

Passo 4

O intervalo de confiança de 90\% para a média é dado por
\bigl[\overline{x} - E;\;\overline{x} + E\bigr] = [77,6 - 1,91;\;77,6 + 1,91] = [75,69;\;79,51].

Resposta

Margem de erro: E \approx 1,91
Intervalo de confiança de 90\%: [75,69;\,79,51]

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