Questão 3. Resolva os itens abaixo, considerando que f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, e que x(r, s)=r e^{s}, y(r, s)=s e^{r} e z(r, s)=e^{r z}. Considere também que P=(0,2) nas coordenadas r \mathrm{e} s respectivamente.
(a) (0.6 \mathrm{pt}) Calcule o gradiente de f com respeito as variáveis x, y e z.
(b) (0.9 p t) Calcule x_{r}, x_{s}, y_{r}, y_{s}, z_{r} \in z, com respeito as variáveis r e s.
(c) (0.7 \mathrm{pt}) Qual é o gradiente de f com respeito as variáveis r e s no ponto P.
(d) ( 0.3 pt ) Qual é a direção com respeito as variáveis r e s \mathrm{em} que f admite maior taxa de variação no ponto P ?

Passo 1

Ao analisar o enunciado, percebemos que está pedido calcular derivadas parciais de \;z(r,s)=e^{r z}, com respeito a r e s.
Porém, essa definição faz z aparecer dos dois lados da igualdade, gerando uma equação implícita mal formulada para determinar z(r,s).

Passo 2

Sem uma forma explícita e correta de z(r,s) em termos apenas de r e s, não é possível computar nem suas derivadas parciais nem o gradiente de f em função de r e s.

Resposta

Não há como resolver a questão porque a função z(r,s) está mal definida (depende de z no seu próprio lado direito), tornando impossível obter os parciais e, consequentemente, o gradiente e a direção de maior variação.

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