Determine a massa da arruela descrita por 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 e densidade proporcional à distância do ponto à origem.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma arruela no plano definida pelo anel
D = \{(x,y)\mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}
cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância à origem. O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas polares para calcular massa:
\text{massa} = \iint_{D} \rho(x,y)\,dA.

Passo 2

Como a densidade é proporcional à distância ao centro, escrevemos
\rho(x,y) = k\,r,
onde r = \sqrt{x^2 + y^2} e k é a constante de proporcionalidade. Para mudar a integral para coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Em coordenadas polares, a região D corresponde a
1 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Logo a massa é
\iint_{D} \rho(x,y)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{r=1}^{2} (k\,r)\,(r\,dr\,d\theta) = k\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{1}^{2} r^2\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{1}^{2} r^2\,dr = \Bigl[\tfrac{r^3}{3}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.
Então
\text{massa} = k \int_{0}^{2\pi}\frac{7}{3}\,d\theta = k\;\frac{7}{3}\;(2\pi) = \frac{14\pi\,k}{3}.

Resposta

\text{massa} = \frac{14\pi\,k}{3}.

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