Determine a massa M de uma barra metálica de comprimento 8 m cuja densidade varia ao longo de seu comprimento de acordo com a função mu(x)=12raizx+1, onde x é a posição ao longo da barra, sabendo que mu(x)=d md x (massa/comprimento)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra metálica de 8 metros de comprimento, e a densidade dela varia conforme a posição $ x $ ao longo da barra. A função que descreve essa densidade é $ \mu(x) = \frac{12}{\sqrt{x + 1}} $, onde $ \mu(x) = \frac{dm}{dx} $ representa a densidade em termos de massa por comprimento. Para descobrir a massa total $ M $ da barra, vamos precisar usar um pouquinho de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \mu(x) = \frac{dm}{dx} $. Isso indica que a densidade $ \mu(x) $ é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento. Para achar a massa total, precisamos somar toda essa variação ao longo do comprimento da barra, ou seja, integrar $ \mu(x) $ de $ x = 0 $ até $ x = 8 $.

Passo 3

A integral que vamos calcular é:
M = integral0^8 mu(x) , dx = integral0^8 12raizx + 1 , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral $ \int \frac{12}{\sqrt{x + 1}} , dx $. Para facilitar, faça uma substituição:
Seja $ u = x + 1 $, então $ du = dx $.
Assim, a integral fica:
integral 12raizx + 1 , dx

Passo 5

Integrando $ u^{-1/2} $, temos:
u^-1/2
Voltando para a variável original $ x $:
12 cdot ( u^1/21/2 ) + C = 24 raizu + C

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral definida de $ 0 $ a $ 8 $:
0

Passo 7

Calculando os valores:
24 raiz9 - 24 raiz1 = 24 times 3 - 24 times 1 = 72 - 24 = 48

Resposta

A massa total da barra é $ M = 48 $ kg.

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