Determine a massa M de uma barra metálica de comprimento 8 m cuja densidade varia ao longo de seu comprimento de acordo com a função
, onde x é a posição ao longo da barra, sabendo que
(massa/comprimento)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra metálica de 8 metros de comprimento, e a densidade dela varia conforme a posição $ x $ ao longo da barra. A função que descreve essa densidade é $ \mu(x) = \frac{12}{\sqrt{x + 1}} $, onde $ \mu(x) = \frac{dm}{dx} $ representa a densidade em termos de massa por comprimento. Para descobrir a massa total $ M $ da barra, vamos precisar usar um pouquinho de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \mu(x) = \frac{dm}{dx} $. Isso indica que a densidade $ \mu(x) $ é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento. Para achar a massa total, precisamos somar toda essa variação ao longo do comprimento da barra, ou seja, integrar $ \mu(x) $ de $ x = 0 $ até $ x = 8 $.
Passo 3
A integral que vamos calcular é:
Passo 4
Vamos resolver a integral $ \int \frac{12}{\sqrt{x + 1}} , dx $. Para facilitar, faça uma substituição:
Seja $ u = x + 1 $, então $ du = dx $.
Assim, a integral fica:
Passo 5
Integrando $ u^{-1/2} $, temos:
Voltando para a variável original $ x $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral definida de $ 0 $ a $ 8 $:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
A massa total da barra é $ M = 48 $ kg.