Resolva as equações diferenciais abaixo:
d^5 xd s^5-2 d^4 xd s^4+16 d^2 xd s^2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes
d^5xd s^5 ;-;2,d^4xd s^4 ;+;16,d^2xd s^2 ;=;0
O método consiste em assumir x(s)=e^r s e encontrar o polinômio característico associado.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando tfracd^nxd s^n por r^n:
r^5 ;-;2,r^4 ;+;16,r^2 ;=;0

Passo 3

Observamos fator comum r^2:
r^2l(r^3-2r^2+16r)=0
Logo duas raízes nulas ( r=0, multiplicidade 2) e sobrou o cúbico r^3-2r^2+16=0.

Passo 4

Para resolver r^3-2r^2+16=0 testamos raízes inteiras divisoras de 16 e achamos r=-2. Fazendo divisão sintética ou fatoração:
r^3-2r^2+16=(r+2)(r^2-4r+8)
As raízes da quadrática vêm de
r^2-4r+8=0 Longrightarrow r=4pmraiz16-322=2pm2,i

Passo 5

Reunindo todas as raízes temos:
bul<=t r=0 com multiplicidade 2bul<=t r=-2 bul<=t r=2+2,i e r=2-2,i
Cada raiz produz uma solução fundamental:
bul<=t r=0 dupla to 1 e s bul<=t r=-2 to e^-2s bul<=t r=2pm2i to e^2scos(2s) e e^2ssin(2s)
Portanto a solução geral é combinação linear dessas cinco funções.

Resposta

x(s)=C1+C2,s+C3,e^-2s+e^2sl(C4cos(2s)+C5sin(2s)r),
onde C1,C2,C3,C4,C5 são constantes arbitrárias.

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