Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é resolver EDOs de ordem superior por meio da equação característica: escrevemos um polinômio em
, encontramos suas raízes e, a partir delas, construímos a solução geral.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
Passo 3
Para fatorar
, testamos raízes inteiras. Vendo
:
logo
é raiz. Fazendo a divisão polinomial por
, obtemos
Passo 4
As raízes do fator quadrático
são
Portanto, além de
, temos as raízes complexas conjugadas
.
Passo 5
Pela teoria de EDOs, a solução geral é
– para a raiz real :
,
– para as raízes :
.
Juntando tudo, a solução geral é
– para a raiz real
– para as raízes
Juntando tudo, a solução geral é
Resposta
onde
,
e
são constantes arbitrárias.