Resolva as equações diferenciais abaixo:
d^3 ud t^3+d^2 ud t^2-2 u=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
d^3udt^3 + d^2udt^2 - 2,u = 0
O conteúdo aqui é resolver EDOs de ordem superior por meio da equação característica: escrevemos um polinômio em r, encontramos suas raízes e, a partir delas, construímos a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo u(t)=e^r t. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
r^3 + r^2 - 2 = 0

Passo 3

Para fatorar r^3+r^2-2, testamos raízes inteiras. Vendo r=1:
1^3+1^2-2 = 1+1-2 = 0,
logo r=1 é raiz. Fazendo a divisão polinomial por (r-1), obtemos
r^3+r^2-2 = (r-1)l(r^2+2r+2r)

Passo 4

As raízes do fator quadrático r^2+2r+2=0 são
r = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i
Portanto, além de r1=1, temos as raízes complexas conjugadas r2,3=-1pm i.

Passo 5

Pela teoria de EDOs, a solução geral é
– para a raiz real r1=1: C1e^t,
– para as raízes r=-1pm i: e^-tl(C2cos t + C3sin tr).
Juntando tudo, a solução geral é

Resposta

u(t) = C1e^t + e^-tl(C2cos t + C3sin tr),
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados