Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
y^prime prime-4 y^prime-5 y=0, y(1)=0, y^prime(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' - 5y = 0,
sujeita às condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=2. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y = e^rx:
r^2 - 4r - 5 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau,
r = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm 62,
logo r1 = 5 e r2 = -1. Assim, a solução geral é
y(x) = C1 e^5x + C2 e^-x

Passo 3

Para aplicar a condição em y', precisamos da derivada:
y'(x) = 5C1 e^5x ;-; C2 e^-x

Passo 4

Agora impomos as condições iniciais em x=1:
y(1)=0 ;Longrightarrow; C1 e^5 + C2 e^-1 = 0,
y'(1)=2 ;Longrightarrow; 5C1 e^5 - C2 e^-1 = 2
Somando as duas equações eliminando C2:
l(C1 e^5 + C2 e^-1r) + l(5C1 e^5 - C2 e^-1r) = 0 + 2 ;Longrightarrow; 6,C1 e^5 = 2 ;Longrightarrow; C1 = 26,e^5 = e^-53
Substituindo C1 em C1 e^5 + C2 e^-1=0:
e^-53e^5 + C2 e^-1 = 0 ;Longrightarrow; 13 + C2 e^-1 = 0 ;Longrightarrow; C2 = -e3

Passo 5

Com C1 e C2 encontrados, a solução particular é
y(x) = e^-53,e^5x ;-; e3,e^-x = 13l(e^5(x-1) - e^-(x-1)r)

Resposta

y(x) = 13l(e^5(x-1) - e^-(x-1)r)

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