Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo essa equação de segundo grau,
logo
e
. Assim, a solução geral é
Passo 3
Para aplicar a condição em
, precisamos da derivada:
Passo 4
Agora impomos as condições iniciais em
:
Somando as duas equações eliminando
:
Substituindo
em
:
Passo 5
Com
e
encontrados, a solução particular é