Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime prime prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - y = 0
O conteúdo aqui é método da equação característica: vamos assumir uma solução exponencial e achar as raízes da equação característica para montar a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(x)=e^r x. Então
y'(x)=r e^r x, y''(x)=r^2 e^r x, y'''(x)=r^3 e^r x
Substituindo em y''' - y = 0 obtemos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
r^3 - 1 = 0
Fatorando,
r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) = 0,
logo as raízes são
r1 = 1, r2,3 = -1 pm iraiz32

Passo 4

Para a raiz real r1=1 temos o termo C1 e^x. Para o par de raízes complexas r=alphapm ibeta com alpha=-tfrac12 e beta=tfracraiz32, a contribuição é
e^alpha xl(C2cos(beta x)+C3sin(beta x)r) = e^-x/2l(C2cosl(tfracraiz32xr)+C3sinl(tfracraiz32xr)r)
Somando tudo, obtemos a solução geral.

Resposta

y(x) = C1 e^x + e^-x/2l(C2cosl(tfracraiz32xr) + C3sinl(tfracraiz32xr)r)

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