Exemplo 2.16 Calcule lim t 0 F(t), onde F(t)=( cost, sent, 1t^2+1). A função F é contínua em t0=0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limtto0vec F(t)
onde
vec F(t)=l(cos t,;sin t,;tfrac1t^2+1r),
e depois verificar se vec F é contínua em t0=0.
O conteúdo é limite e continuidade de função vetorial, que se faz componente a componente.

Passo 2

Pelo teorema do limite de funções vetoriais,
limtto0vec F(t) =l(limtto0cos t,;limtto0sin t,;limtto0tfrac1t^2+1r)
Sabemos que cos t e sin t são funções contínuas, logo
limtto0cos t=cos0=1
e
limtto0sin t=sin0=0.
Para a terceira componente,
limtto01t^2+1=10^2+1=1.

Passo 3

Substituindo os resultados das componentes, obtém-se
limtto0vec F(t)=(1,,0,,1)

Passo 4

Para verificar continuidade em t0=0 basta comparar com o valor de vec F em 0:
vec F(0)=l(cos0,;sin0,;tfrac10^2+1r)=(1,0,1)
Como
limtto0vec F(t)=(1,0,1)=vec F(0),
vec F é contínua em t0=0.

Resposta

limtto0vec F(t)=(1,0,1)
A função vec F é contínua em t0=0, pois seu limite coincide com vec F(0).

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