Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
e tem funçâo densidade
.
é a região triangular com vértices
;
Passo 1
Temos uma lâmina triangular na região D com vértices (0,0), (2,1) e (0,3) e densidade em cada ponto dada por ρ(x,y)=x+y. Precisamos calcular a massa m e o centro de massa, cujas fórmulas são m=∬_Dρ(x,y)dA,
e
.
Passo 2
Para descrever D em integrais duplas, fixamos y entre 0 e 3. A borda direita de D é a reta que liga (0,0) a (2,1) para 0≤y≤1, ou seja, x=2y, e a reta que liga (2,1) a (0,3) para 1≤y≤3, ou seja, x=3−y. Assim dividimos D em D₁: 0≤y≤1, 0≤x≤2y, e D₂: 1≤y≤3, 0≤x≤3−y.
Passo 3
Calculemos a massa dividindo em m₁ sobre D₁ e m₂ sobre D₂:
Para D₁:
Para D₁:
A integral interna dá 4y², e integrando em y de 0 a 1 resulta m₁=4/3.
Para D₂:
A integral interna simplifica para
, e integrando de 1 a 3 obtemos m₂=14/3.
Logo m=m₁+m₂=6.
Logo m=m₁+m₂=6.
Passo 4
Agora calculamos o momento estático em x:
Dividimos em I₁ sobre D₁ e I₂ sobre D₂, onde
Dividimos em I₁ sobre D₁ e I₂ sobre D₂, onde
Assim o momento em x é I=I₁+I₂=7/6+10/3=27/6 e
Passo 5
Para o momento estático em y, fazemos J₁ e J₂:
Total J=J₁+J₂=9 e
Resposta
m=6, centro de massa = (3/4, 3/2)