Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem funçâo densidade rho.
D é a região triangular com vértices (0,0),(2,1),(0,3); rho(x, y)-x+y

Passo 1

Temos uma lâmina triangular na região D com vértices (0,0), (2,1) e (0,3) e densidade em cada ponto dada por ρ(x,y)=x+y. Precisamos calcular a massa m e o centro de massa, cujas fórmulas são m=∬_Dρ(x,y)dA, barx=tfrac1m⊤D xρ(x,y)dA e bary=tfrac1m⊤D yρ(x,y)dA.

Passo 2

Para descrever D em integrais duplas, fixamos y entre 0 e 3. A borda direita de D é a reta que liga (0,0) a (2,1) para 0≤y≤1, ou seja, x=2y, e a reta que liga (2,1) a (0,3) para 1≤y≤3, ou seja, x=3−y. Assim dividimos D em D₁: 0≤y≤1, 0≤x≤2y, e D₂: 1≤y≤3, 0≤x≤3−y.

Passo 3

Calculemos a massa dividindo em m₁ sobre D₁ e m₂ sobre D₂:
Para D₁:
m₁=integraly=0^1integralx=0^2y(x+y),dx,dy
A integral interna dá 4y², e integrando em y de 0 a 1 resulta m₁=4/3.
Para D₂:
m₂=integraly=1^3integralx=0^3-y(x+y),dx,dy
A integral interna simplifica para (9−y²)/2², e integrando de 1 a 3 obtemos m₂=14/3.
Logo m=m₁+m₂=6.

Passo 4

Agora calculamos o momento estático em x:
Dividimos em I₁ sobre D₁ e I₂ sobre D₂, onde
I₁=integral0^1integral0^2yx(x+y),dx,dy=7/6,
I₂=integral1^3integral0^3-yx(x+y),dx,dy=10/3
Assim o momento em x é I=I₁+I₂=7/6+10/3=27/6 e
barx=Im=27/66=tfrac34

Passo 5

Para o momento estático em y, fazemos J₁ e J₂:
J₁=integral0^1integral0^2yy(x+y),dx,dy=1,
J₂=integral1^3integral0^3-yy(x+y),dx,dy=8
Total J=J₁+J₂=9 e
bary=Jm=96=tfrac32

Resposta

m=6, centro de massa = (3/4, 3/2)

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