integral x^2-2 x-1(x-1)^2(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1),dx
usando decomposição em frações parciais e integrais elementares.

Passo 2

Assumimos a forma
x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+Dx^2+1
e multiplicamos ambos os lados por (x-1)^2(x^2+1).

Passo 3

Após multiplicar e agrupar termos, obtemos a identidade
x^2-2x-1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2
Igualando coeficientes de x^3,x^2,x e termo constante chega-se a
A=1, B=-1, C=-1, D=1

Passo 4

Substituindo esses valores na decomposição temos
x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1) = 1x-1 ;-;1(x-1)^2;+;-x+1x^2+1
Logo a integral se separa em
integral dxx-1 -integral dx(x-1)^2 +integral -xx^2+1,dx +integral dxx^2+1

Passo 5

Calculamos cada termo:
integral dxx-1 = lnlvert x-1rvert,
integral dx(x-1)^2 = -1x-1,
integral -xx^2+1,dx = -tfrac12lnl(x^2+1r),
integral dxx^2+1 = arctan(x)

Resposta

boxedlnlvert x-1rvert + 1x-1 ;-;tfrac12lnl(x^2+1r) + arctan(x) + C

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