Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho, quando:
  • D=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq \operatorname{sen}(\pi x / L), 0 \leq x \leq L\right} ; \quad \rho(x, y)=y).

Passo 1

O enunciado dá a lâmina com região
D = (x,y)mid 0 <= x <= L,;0 <= y <= sin(tfracpi xL)
e densidade rho(x,y)=y.
Para achar a massa M usamos
M = integral duplaD rho(x,y),dA,
e para o centro de massa (bar x,bar y) as fórmulas
bar x = 1Mintegral duplaD x,rho(x,y),dA, bar y = 1Mintegral duplaD y,rho(x,y),dA

Passo 2

Calcular M:
M = integral0^L!integral0^sin(pi xL) y ,dy,dx = integral0^Ll[tfrac12 y^2r]0^sin(pi xL)dx = tfrac12integral0^Lsin^2!l(tfracpi xLr),dx
Usando sin^2theta=(1-cos2theta)/2 e fazendo theta=pi x/L obtemos
integral0^Lsin^2!l(tfracpi xLr),dx = L2,
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M = tfrac12cdottfracL2 = L4

Passo 3

Calcular bar x:
bar x = 1Mintegral0^L!integral0^sin(pi xL) x,y,dy,dx = 1Mintegral0^Lxl[tfrac12y^2r]0^sin(pi xL)dx = 12Mintegral0^Lx,sin^2!l(tfracpi xLr),dx
Escrevendo sin^2=(1-cos2theta)/2 e notando que
integral0^Lxcos!l(tfrac2pi xLr),dx=0
por simetria, fica
integral0^Lx,sin^2!l(tfracpi xLr),dx =tfrac12integral0^Lx,dx =tfrac12cdottfracL^22 =L^24
Como M=L/4,
bar x = 12McdotL^24 = L^28M = L^28,(L/4) = L2

Passo 4

Calcular bar y:
bar y = 1Mintegral0^L!integral0^sin(pi xL)y^2,dy,dx = 1Mintegral0^Ll[tfrac13y^3r]0^sin(pi xL)dx = 13Mintegral0^Lsin^3!l(tfracpi xLr),dx
Com theta=pi x/L e sabendo integral0^pisin^3theta,dtheta=4/3,
integral0^Lsin^3!l(tfracpi xLr),dx =Lpiintegral0^pisin^3theta,dtheta =Lpicdot43 =4L3pi
Logo, com M=L/4,
bar y = 13Mcdot4L3pi = 4L9pi,M = 4L9pi,(L/4) = 169pi

Resposta

M = dfracL4,
bar x = L2,
bar y = 169pi.

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