Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
e tem função densidade
, quando:
- D=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq \operatorname{sen}(\pi x / L), 0 \leq x \leq L\right} ; \quad \rho(x, y)=y).
Passo 1
O enunciado dá a lâmina com região
e densidade
.
Para achar a massa usamos
Para achar a massa
e para o centro de massa
as fórmulas
Passo 2
Calcular
:
Usando
e fazendo
obtemos
logo
Passo 3
Calcular
:
Escrevendo
e notando que
por simetria, fica
por simetria, fica
Como
,
Passo 4
Calcular
:
Com
e sabendo
,
Logo, com
,