Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)^{2}}{(n+3)!}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty (n+2)^2(n+3)!
Estamos no tópico de critérios de convergência de séries numéricas e vamos usar o Teste da Razão para decidir se ela converge ou diverge.

Passo 2

O Teste da Razão afirma que, para an>=0, se
L = limntoinfty an+1an
existe e L<1, então sum an converge absolutamente (logo converge). Se L>1, diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui an = (n+2)^2(n+3)!. Vamos calcular
an+1an = (n+3)^2(n+4)!(n+2)^2(n+3)! = (n+3)^2(n+2)^2,(n+3)!(n+4)! = (n+3)^2(n+2)^2,1n+4
Agora fazemos o limite:
L = limntoinfty (n+3)^2(n+2)^2,1n+4 = 1 cdot 0 = 0

Passo 4

Como L=0<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente. Portanto a série original é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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