Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)^{2}}{(n+3)!}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)^{2}}{(n+3)!}
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
Estamos no tópico de critérios de convergência de séries numéricas e vamos usar o Teste da Razão para decidir se ela converge ou diverge.
Passo 2
O Teste da Razão afirma que, para
, se
existe e
, então
converge absolutamente (logo converge). Se
, diverge. Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aqui
. Vamos calcular
Agora fazemos o limite:
Passo 4
Como
, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente. Portanto a série original é convergente.
Resposta
A série é convergente.