Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty ln(n)n^2+2
O tema é convergência de séries numéricas positivas, e vamos usar o teste da comparação, aproveitando uma desigualdade que controla o crescimento de ln(n).

Passo 2

Para n>=4 vale
ln(n)<=raizn,
pois ln(n) cresce mais devagar que qualquer potência n^a (aqui com a=tfrac12). Então, para n>=4,
ln(n)n^2+2<=raiznn^2=1n^3/2
Como sumn=4^infty1n^3/2 é uma série p-com p=tfrac32>1, ela converge.

Passo 3

O trecho inicial
sumn=1^3ln(n)n^2+2
é apenas uma soma finita, logo é finito. A parte a partir de n=4 converge por comparação com sum n^-3/2. Somando um bloco finito com um bloco convergente, a série inteira
sumn=1^inftyln(n)n^2+2
converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados