Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}+2}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}+2}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
O tema é convergência de séries numéricas positivas, e vamos usar o teste da comparação, aproveitando uma desigualdade que controla o crescimento de
.
Passo 2
Para
vale
pois
cresce mais devagar que qualquer potência
(aqui com
). Então, para
,
Como
é uma série
-com
, ela converge.
Passo 3
O trecho inicial
é apenas uma soma finita, logo é finito. A parte a partir de
converge por comparação com
. Somando um bloco finito com um bloco convergente, a série inteira
converge.
Resposta
A série converge.