A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 10 corpos de prova e obtém os seguintes dados:
2250
2221
2326
2251
2224
2229
2237
2232
2258
2193
Construa um intervalo confidencial de 95% de confiança a resistência média do concreto.
2250 | 2221 | 2326 | 2251 | 2224 | 2229 | 2237 | 2232 | 2258 | 2193 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre testar a resistência do concreto à compressão. Temos 10 valores de resistência e precisamos construir um intervalo de confiança de 95% para a média dessa resistência. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente de intervalos de confiança para a média, e para isso vamos precisar calcular a média, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student já que a amostra é pequena.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (
) dos valores fornecidos. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações.
Calculando isso, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra (
). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores variam em relação à média. A fórmula para o desvio padrão da amostra é:
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
Somando todos esses valores:
Agora, aplicando na fórmula do desvio padrão:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o erro padrão da média (
), que é dado por:
Onde
é o desvio padrão e
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Como a amostra é pequena (
) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico (
) para um intervalo de confiança de 95%. Os graus de liberdade (
) são
.
Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos que
para 9 graus de liberdade é aproximadamente 2,262.
Passo 6
Agora, podemos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando a margem de erro:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a resistência média do concreto é de aproximadamente 2208,21 a 2270,79.