A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 10 corpos de prova e obtém os seguintes dados:
2250 2221 2326 2251 2224 2229 2237 2232 2258 2193
Construa um intervalo confidencial de 95% de confiança a resistência média do concreto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre testar a resistência do concreto à compressão. Temos 10 valores de resistência e precisamos construir um intervalo de confiança de 95% para a média dessa resistência. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente de intervalos de confiança para a média, e para isso vamos precisar calcular a média, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student já que a amostra é pequena.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( barx) dos valores fornecidos. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações.
barx = 2250 + 2221 + 2326 + 2251 + 2224 + 2229 + 2237 + 2232 + 2258 + 219310
Calculando isso, temos:
barx = 2239510 = 2239,5

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra ( s). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores variam em relação à média. A fórmula para o desvio padrão da amostra é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(2250 - 2239,5)^2 &= 110,25 (2221 - 2239,5)^2 &= 3422,25 (2326 - 2239,5)^2 &= 7572,25 (2251 - 2239,5)^2 &= 132,25 (2224 - 2239,5)^2 &= 2402,25 (2229 - 2239,5)^2 &= 110,25 (2237 - 2239,5)^2 &= 6,25 (2232 - 2239,5)^2 &= 56,25 (2258 - 2239,5)^2 &= 342,25 (2193 - 2239,5)^2 &= 2132,25
Somando todos esses valores:
sum (xi - barx)^2 = 110,25 + 3422,25 + 7572,25 + 132,25 + 2402,25 + 110,25 + 6,25 + 56,25 + 342,25 + 2132,25 = 17284,5
Agora, aplicando na fórmula do desvio padrão:
s = raiz17284,510 - 1 = raiz17284,59 = raiz1920,5 approx 43,82

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o erro padrão da média ( SE), que é dado por:
SE = sraizn
Onde s é o desvio padrão e n é o tamanho da amostra.
SE = 43,82raiz10 approx 43,823,1623 approx 13,85

Passo 5

Como a amostra é pequena ( n < 30) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico ( tc) para um intervalo de confiança de 95%. Os graus de liberdade ( df) são n - 1 = 9.
Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos que t0,025 para 9 graus de liberdade é aproximadamente 2,262.

Passo 6

Agora, podemos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm tc times SE
Substituindo os valores:
2239,5 pm 2,262 times 13,85
Calculando a margem de erro:
2,262 times 13,85 approx 31,29

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
2239,5 - 31,29 = 2208,21
2239,5 + 31,29 = 2270,79

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a resistência média do concreto é de aproximadamente 2208,21 a 2270,79.

Exercícios relacionados