Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho(x, y) dadas abaixo.
D é a região triangular limitada pelas retas y=0, y=2 x e 2 x+y=6 com rho(x, y)=x^2;

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa de uma lâmina de densidade rho(x,y)=x^2 que ocupa o triângulo D limitado por
y=0, y=2x, 2x+y=6
O conteúdo principal é cálculo de integrais duplas para obter a massa
M=integral duplaDrho(x,y),dA
e os momentos
Mx=integral duplaDy,rho(x,y),dA, My=integral duplaDx,rho(x,y),dA
para depois achar
bar x=MyM, bar y=MxM

Passo 2

Para descrever D de modo simples, note que y varia de 0 a 3 (interseção de y=2x com 2x+y=6 y=3), e para cada y temos
y2<= x<= 6-y2
Logo podemos escrever
D=l(x,y)mid 0<= y<=3, tfrac y2<= x<=tfrac6-y2r

Passo 3

Cálculo da massa:
M=integral duplaDx^2,dA =integraly=0^3!integralx= y2^6-y2x^2,dx,dy
A integral interna é
integral y2^6-y2x^2,dx =13l[l(tfrac6-y2r)^3-l(tfrac y2r)^3r] =124l[(6-y)^3-y^3r]
Então
M=124integral0^3l[(6-y)^3-y^3r],dy =18916

Passo 4

Momento Mx (para bar y):
Mx=integral duplaDy,x^2,dA =integral0^3!integral y2^6-y2y,x^2,dx,dy =integral0^3!ycdot124l[(6-y)^3-y^3r]dy =89180

Passo 5

Momento My (para bar x):
My=integral duplaDx,x^2,dA =integral0^3!integral y2^6-y2x^3,dx,dy =integral0^3!164l[(6-y)^4-y^4r],dy =72932

Resposta

Massa:
M=18916
Centro de massa:
bar x=MyM=tfrac72932tfrac18916=2714, bar y=MxM=tfrac89180tfrac18916=3335

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