Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Abaixo do cone z=raizx^2+y^2 e acima do anel 1 <= x^2+y^2 <= 4;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do cone
z = raizx^2 + y^2
e acima do anel no plano z=0 definido por
1 <= x^2 + y^2 <= 4
O conteúdo envolve integração tripla em coordenadas cilíndricas (ou polares no plano xy), usando o elemento de volume
,dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
e a região de projeção no plano xy é o anel
1 <= r^2 <= 4Longrightarrow 1 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi
Para cada (r,theta) o sólido vai de z=0 (o plano) até z = raizx^2+y^2=r.

Passo 3

Montamos a integral tripla para o volume V:
V = integraltheta=0^2piintegralr=1^2integralz=0^r r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^r r,dz = rl[zr]0^r = rcdot r = r^2

Passo 5

Agora integramos em r:
integralr=1^2 r^2,dr = [tfracr^33]1^2 = 2^33 - 1^33 = 8-13 = 73

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
integraltheta=0^2pi dtheta = 2pi,
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V = 2pi cdot 73 = 14pi3

Resposta

14pi3

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