Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem a função densidade fornecida rho.
D é limitada pela parábolay =9-x^2 e pelo eixo x ; p(x, y)=y

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa de uma lâmina de densidade rho(x,y)=y que ocupa a região D limitada pela parábola y=9-x^2 e pelo eixo x.
Usaremos as fórmulas
M = integral duplaDrho(x,y),dA, barx = 1Mintegral duplaDx,rho(x,y),dA, bary = 1Mintegral duplaDy,rho(x,y),dA

Passo 2

Descrevemos D por
-3 ,<= x<= 3, 0 ,<= y<= 9 - x^2
Então a massa é
M = integralx=-3^3integraly=0^9-x^2y,dy,dx = integral-3^3(9-x^2)^22,dx = integral0^3l(81 - 18x^2 + x^4r),dx
Calculando cada termo:
integral0^381,dx = 243, integral0^3-18x^2,dx = -162, integral0^3x^4,dx = 2435,
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M = 243 -162 + 2435 = 6485

Passo 3

Pela simetria de D em torno do eixo y e por rho ser par em x, temos
integral duplaDx,rho(x,y),dA = 0 Longrightarrow barx=0

Passo 4

Para bary precisamos de
integral duplaDy^2,dA = integral-3^3integral0^9-x^2y^2,dy,dx = 13integral-3^3(9-x^2)^3,dx = 23integral0^3(9-x^2)^3,dx
Expandindo e integrando (9-x^2)^3=729-243x^2+27x^4-x^6 de 0 a 3, obtemos
integral0^3(9-x^2)^3,dx = 3499235,
portanto
integral duplaDy^2,dA = 23cdot3499235 = 2332835
Assim
bary = 1Mintegral duplaDy^2,dA = tfrac2332835tfrac6485 = 367

Resposta

Massa M = tfrac6485
Centro de massa l(barx,,baryr) = l(0,;tfrac367r)

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