Reescreva a integral \int_{0}^{4} \int_{0}^{\frac{4-x}{2}} \int_{0}^{\frac{12-3 x-6 x}{4}} d z d y d x na ordem d y d x d z.
R.: \int_{0}^{3} \int_{0}^{\frac{12-4 z}{3}} \int_{0}^{\frac{12-3 x-4 z}{6}} d y d x d z.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\frac{4 - x}{2}}\int_{0}^{\frac{12 - 3x - 6y}{4}}dz\,dy\,dx
sobre a região
E = \bigl\{(x,y,z)\mid 0 \le x \le 4,\;0 \le y \le \tfrac{4 - x}{2},\;0 \le z \le \tfrac{12 - 3x - 6y}{4}\bigr\}.
Queremos reescrever essa integral na ordem dy\,dx\,dz, ou seja, primeiro integrar em y, depois em x e por fim em z.

Passo 2

Para trocar a ordem, primeiro projetamos E no plano xz. Como y varia entre
0 \le y \le \frac{4 - x}{2}
e z satisfaz
0 \le z \le \frac{12 - 3x - 6y}{4},
vemos que, para um par (x,z) fixo, deve existir y com
0 \le y \le \frac{4 - x}{2} \quad\text{e}\quad 4z \le 12 - 3x - 6y.
A condição mais fraca (que define o máximo de z para cada x) ocorre tomando y=0, ou seja
4z \le 12 - 3x \;\Longleftrightarrow\; z \le \frac{12 - 3x}{4}.

Passo 3

Da desigualdade z \le \tfrac{12 - 3x}{4} decorre
4z \le 12 - 3x \;\Longleftrightarrow\; 3x \le 12 - 4z \;\Longleftrightarrow\; x \le \frac{12 - 4z}{3}.
Como x também satisfaz 0 \le x \le 4 e o valor máximo de z ocorre em x=0, temos
0 \le z \le 3 \quad\text{e}\quad 0 \le x \le \frac{12 - 4z}{3}.

Passo 4

Para um par (x,z) nessa projeção, a condição em y vem de
4z \le 12 - 3x - 6y \;\Longleftrightarrow\; 6y \le 12 - 3x - 4z \;\Longleftrightarrow\; y \le \frac{12 - 3x - 4z}{6}.
Como já temos y \ge 0 e também y \le \tfrac{4 - x}{2}, basta notar que
\frac{12 - 3x - 4z}{6} \le \frac{12 - 3x}{6} = \frac{4 - x}{2},
pois z \ge 0. Logo
0 \le y \le \frac{12 - 3x - 4z}{6}.

Resposta

\int_{0}^{3}\int_{0}^{\frac{12 - 4z}{3}}\int_{0}^{\frac{12 - 3x - 4z}{6}}dy\,dx\,dz.

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