1. José preencheu um tabuleiro 3 \times 3 com os números de 1 a 9 e notou que a soma dos números em k filas (linha ou coluna) era ímpar. Quantos são os possíveis valores para k ?
    A) 1
    B) 2
    C) 3
    D) 4
    E) 5

Passo 1

O enunciado pede para contar, em qualquer preenchimento do tabuleiro 3\times3 com os números de 1 a 9, quantas “filas” (linhas ou colunas) têm soma ímpar. O que vamos precisar é de um argumento de paridade (módulo 2) sobre as somas das linhas e das colunas, usando que a soma de 1 a 9 é 45 (ímpar).

Passo 2

Sejam r_1,r_2,r_3 as somas das três linhas e c_1,c_2,c_3 as somas das três colunas. Note que
r_1 + r_2 + r_3 = 1+2+\cdots+9 = 45,
que é ímpar. Em linguagem de paridade, isto significa
(r_1 \bmod 2)+(r_2 \bmod 2)+(r_3 \bmod 2) \equiv 45 \bmod 2 \equiv 1.
Portanto, o número de linhas de soma ímpar (ou seja, quantos r_i são congruentes a 1 módulo 2) deve ser um número ímpar. Como há 3 linhas, esse número pode ser só 1 ou 3.

Passo 3

De modo completamente análogo, somando as colunas temos
c_1 + c_2 + c_3 = 45,
logo o número de colunas de soma ímpar também é ímpar, podendo ser 1 ou 3.

Passo 4

Chamando de k_{\rm lin} a quantidade de linhas ímpares e de k_{\rm col} a quantidade de colunas ímpares, sabemos
k_{\rm lin}\in\{1,3\}, \qquad k_{\rm col}\in\{1,3\}.
O valor pedido k é
k = k_{\rm lin} + k_{\rm col}.
As combinações possíveis são
1+1=2,\quad 1+3=4,\quad 3+1=4,\quad 3+3=6,
logo os valores distintos de k são \{2,4,6\}, isto é, três valores possíveis.

Resposta

3

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