- José preencheu um tabuleiro
com os números de 1 a 9 e notou que a soma dos números em
filas (linha ou coluna) era ímpar. Quantos são os possíveis valores para
?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Passo 1
O enunciado pede para contar, em qualquer preenchimento do tabuleiro
com os números de 1 a 9, quantas “filas” (linhas ou colunas) têm soma ímpar. O que vamos precisar é de um argumento de paridade (módulo 2) sobre as somas das linhas e das colunas, usando que a soma de 1 a 9 é 45 (ímpar).
Passo 2
Sejam
as somas das três linhas e
as somas das três colunas. Note que
que é ímpar. Em linguagem de paridade, isto significa
Portanto, o número de linhas de soma ímpar (ou seja, quantos
são congruentes a 1 módulo 2) deve ser um número ímpar. Como há 3 linhas, esse número pode ser só 1 ou 3.
Passo 3
De modo completamente análogo, somando as colunas temos
logo o número de colunas de soma ímpar também é ímpar, podendo ser 1 ou 3.
Passo 4
Chamando de
a quantidade de linhas ímpares e de
a quantidade de colunas ímpares, sabemos
O valor pedido
é
As combinações possíveis são
logo os valores distintos de
são
, isto é, três valores possíveis.
Resposta
3