Determine a massa de uma coroa esférica, limitada pelas esferas centradas em um ponto O, de raios a e b, 0<a<b, sendo a densidade de massa em qualquer ponto proporcional à distância do ponto ao centro das esferas. Calcule também o momento de inércia em relação ao eixo O x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a massa da coroa esférica limitada por esferas concêntricas de raios a e b, com 0<a<b, cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro O.
  2. Calcular o momento de inércia dessa coroa em relação ao eixo O x.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os limites radialmente são r=a e r=b.
  • A densidade é proporcional à distância ao centro; introduzimos a constante de proporcionalidade k e, portanto, a densidade vale \rho(\mathbf{r}) = k\,r em qualquer ponto (onde r é a distância ao centro).
  • A região é totalmente simétrica em torno de O.

Passo 2

Escolhemos coordenadas esféricas centradas em O porque a região e a densidade dependem apenas da distância radial r; isso simplifica muito as integrais. Vou explicar as convenções e a fórmula do volume em coordenadas esféricas:
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis (r,\theta,\varphi), onde r\ge0 é a distância ao centro, \theta é o ângulo polar (aqui vou tomar \theta medido a partir do eixo O x, o que facilita a interpretação do momento em relação a esse eixo), e \varphi é o ângulo azimutal no plano perpendicular.
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
  • Os limites para a nossa região são r\in[a,b], \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,2\pi].
  • A densidade é \rho(r)=k\,r, onde k é a constante de proporcionalidade (positiva se a massa for positiva).
Vou usar isso para calcular a massa e o momento.

Passo 3

Cálculo da massa. A massa total M é a integral da densidade sobre o volume:
M=\iiint_{V}\rho\,dV.
Substituindo \rho=k\,r e dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi, obtemos a integral tripla
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{a}^{b} k\,r\cdot r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi = k\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\int_{a}^{b} r^{3}\,dr.
Avalio cada parte:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi.
  • \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2.
  • \displaystyle\int_{a}^{b} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{a}^{b} = \frac{b^{4}-a^{4}}{4}.
Multiplicando:
M = k\cdot(2\pi)\cdot 2 \cdot \frac{b^{4}-a^{4}}{4} = \pi k\,(b^{4}-a^{4}).
Logo, a massa da coroa esférica em termos da constante de proporcionalidade k é \displaystyle M=\pi k\,(b^{4}-a^{4}).

Passo 4

Explicação didática sobre o que fizemos (resumindo para a prova): como a densidade depende só de r, a integral separa em uma parte angular (que dá 4\pi) e uma parte radial. Sempre que a densidade for uma função radial \rho(r), o cálculo da massa reduz-se a \displaystyle M = 4\pi \int_{a}^{b} \rho(r)\,r^{2}\,dr. No nosso caso \rho(r)=k r, então ficou 4\pi k\int_{a}^{b} r^{3}dr.

Passo 5

Agora vamos ao momento de inércia em relação ao eixo O x. A definição para sólidos contínuos é
I_{x} = \iiint_{V} d^{2}\,\rho\,dV,
onde d é a distância de cada ponto ao eixo O x. Em coordenadas esféricas com \theta medido a partir do eixo O x, a distância perpendicular ao eixo O x é r\sin\theta. Portanto, diretamente teríamos integrando \rho\,(r\sin\theta)^{2}\,dV. Mas há um atalho muito útil por simetria:
  • A densidade depende apenas de r (é esfericamente simétrica), logo os momentos de inércia em torno dos três eixos coordenados são iguais: I_{x}=I_{y}=I_{z}.
  • Além disso vale a identidade
I_{x}+I_{y}+I_{z} = \iiint_{V} \rho\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \iiint_{V} \rho\,r^{2}\,dV.
Pela igualdade e simetria, cada um vale um terço dessa integral total:
I_{x} = \frac{1}{3}\iiint_{V}\rho\,r^{2}\,dV.
Esse truque evita o tratamento direto de \sin^{2}\theta e simplifica contas — é uma ferramenta que vale a pena lembrar na prova.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle\iiint_{V}\rho\,r^{2}\,dV. Substituindo \rho=k r e dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi, temos
\iiint_{V}\rho\,r^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{a}^{b} k\,r \cdot r^{2} \cdot r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi = k\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\int_{a}^{b} r^{5}\,dr.
Avalio:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi.
  • \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2.
  • \displaystyle\int_{a}^{b} r^{5}\,dr = \left[\frac{r^{6}}{6}\right]_{a}^{b} = \frac{b^{6}-a^{6}}{6}.
Portanto
\iiint_{V}\rho\,r^{2}\,dV = k\cdot(2\pi)\cdot 2 \cdot \frac{b^{6}-a^{6}}{6} = \frac{2\pi k}{3}\,(b^{6}-a^{6}).
E assim
I_{x} = \frac{1}{3}\cdot \frac{2\pi k}{3}\,(b^{6}-a^{6}) = \frac{2\pi k}{9}\,(b^{6}-a^{6}).

Passo 7

Expressão do momento em termos da massa M (às vezes útil na resposta final). Lembrando que \displaystyle M=\pi k\,(b^{4}-a^{4}), isolamos k:
k=\frac{M}{\pi\,(b^{4}-a^{4})}.
Substituindo em I_{x}=\dfrac{2\pi k}{9}\,(b^{6}-a^{6}) obtemos
I_{x}=\frac{2\pi}{9}\cdot\frac{M}{\pi\,(b^{4}-a^{4})}\,(b^{6}-a^{6}) = \frac{2M}{9}\cdot\frac{b^{6}-a^{6}}{b^{4}-a^{4}}.
Podemos ainda simplificar a razão algébrica usando fatoração:
\frac{b^{6}-a^{6}}{b^{4}-a^{4}}=\frac{(b^{2}-a^{2})(b^{4}+b^{2}a^{2}+a^{4})}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}+a^{2})} =\frac{b^{4}+b^{2}a^{2}+a^{4}}{b^{2}+a^{2}},
logo também é válido escrever
I_{x}=\frac{2M}{9}\cdot\frac{b^{4}+b^{2}a^{2}+a^{4}}{b^{2}+a^{2}}.
Esse formato às vezes é mais simpático se você quiser ver comportamento quando a\to0 ou a\to b.

Resposta

M=\pi k\,(b^{4}-a^{4})
I_{x}=\dfrac{2\pi k}{9}\,(b^{6}-a^{6})=\dfrac{2M}{9}\cdot\dfrac{b^{6}-a^{6}}{b^{4}-a^{4}}=\dfrac{2M}{9}\cdot\dfrac{b^{4}+b^{2}a^{2}+a^{4}}{b^{2}+a^{2}}

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