Determine a massa de uma coroa esférica, limitada pelas esferas centradas em um ponto
, de raios
e
, sendo a densidade de massa em qualquer ponto proporcional à distância do ponto ao centro das esferas. Calcule também o momento de inércia em relação ao eixo
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a massa da coroa esférica limitada por esferas concêntricas de raios
e , com , cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro . - Calcular o momento de inércia dessa coroa em relação ao eixo
.
Informações dadas que vamos usar:
- Os limites radialmente são
e . - A densidade é proporcional à distância ao centro; introduzimos a constante de proporcionalidade
e, portanto, a densidade vale em qualquer ponto (onde é a distância ao centro). - A região é totalmente simétrica em torno de
.
Passo 2
Escolhemos coordenadas esféricas centradas em
porque a região e a densidade dependem apenas da distância radial
; isso simplifica muito as integrais. Vou explicar as convenções e a fórmula do volume em coordenadas esféricas:
- Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
, onde é a distância ao centro, é o ângulo polar (aqui vou tomar medido a partir do eixo , o que facilita a interpretação do momento em relação a esse eixo), e é o ângulo azimutal no plano perpendicular. - O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
- Os limites para a nossa região são
, , . - A densidade é
, onde é a constante de proporcionalidade (positiva se a massa for positiva).
Vou usar isso para calcular a massa e o momento.
Passo 3
Cálculo da massa. A massa total
é a integral da densidade sobre o volume:
Substituindo
e
, obtemos a integral tripla
Avalio cada parte:
-
. -
. -
Multiplicando:
Logo, a massa da coroa esférica em termos da constante de proporcionalidade
é
.
Passo 4
Explicação didática sobre o que fizemos (resumindo para a prova): como a densidade depende só de
, a integral separa em uma parte angular (que dá
) e uma parte radial. Sempre que a densidade for uma função radial
, o cálculo da massa reduz-se a
. No nosso caso
, então ficou
.
Passo 5
Agora vamos ao momento de inércia em relação ao eixo
. A definição para sólidos contínuos é
onde
é a distância de cada ponto ao eixo
. Em coordenadas esféricas com
medido a partir do eixo
, a distância perpendicular ao eixo
é
. Portanto, diretamente teríamos integrando
. Mas há um atalho muito útil por simetria:
- A densidade depende apenas de
(é esfericamente simétrica), logo os momentos de inércia em torno dos três eixos coordenados são iguais: . - Além disso vale a identidade
Pela igualdade e simetria, cada um vale um terço dessa integral total:
Esse truque evita o tratamento direto de
e simplifica contas — é uma ferramenta que vale a pena lembrar na prova.
Passo 6
Cálculo de
. Substituindo
e
, temos
Avalio:
-
. -
. -
Portanto
E assim
Passo 7
Expressão do momento em termos da massa
(às vezes útil na resposta final). Lembrando que
, isolamos
:
Substituindo em
obtemos
Podemos ainda simplificar a razão algébrica usando fatoração:
logo também é válido escrever
Esse formato às vezes é mais simpático se você quiser ver comportamento quando
ou
.