(Exercício 1, 2 IV.6, pg180,181) Determine as coordenadas do centro de massa do sólido S com a densidade, \delta(x, y, z), dada:
S é limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}, pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=0 ; \delta(x, y, z) constante.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do centro de massa do sólido S com densidade constante \delta(x,y,z)=\delta_0. Dados fornecidos relevantes:
\begin{aligned} &\text{Região } S:\\ \text{limitada lateralmente pelo cilindro } x^{2}+y^{2}=a^{2},\\\ &\qquad\qquad\qquad\text{superiormente pelo paraboloide } z=x^{2}+y^{2},\\\ &\qquad\qquad\qquad\text{e inferiormente pelo plano } z=0.\\\ &\text{Densidade: } \delta(x,y,z)=\delta_0\\ (\text{constante}).\\\ &\text{O que se pede: } \text{as coordenadas }(\bar{x},\bar{y},\bar{z})\text{ do centro de massa de }S. \end{aligned}ã

Passo 2

Apresento as fórmulas gerais do centro de massa para um corpo de densidade \delta(x,y,z). Seja M a massa total:
M=\iiint_{S}\delta(x,y,z)\,dV.
As coordenadas do centro de massa são
\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_{S} x\,\delta(x,y,z)\,dV,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iiint_{S} y\,\delta(x,y,z)\,dV,\qquad \bar{z}=\frac{1}{M}\iiint_{S} z\,\delta(x,y,z)\,dV.
Aqui x,y,z são as coordenadas espaciais e dV é o elemento de volume.

Passo 3

Observação de simetria (muito útil e economiza contas): a região S é rotacionalmente simétrica em torno do eixo z (o cilindro e o paraboloide dependem apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), e a densidade é constante. Por isso os momentos em x e y se anulam, logo
\bar{x}=0,\qquad \bar{y}=0.
Para ver isso explicitamente, usaremos coordenadas cilíndricas, onde
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
e o elemento de volume é
dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
Explicação curta: r\,dz\,dr\,d\theta vem do jacobiano da transformação cartesiana (x,y,z)\mapsto(r,\theta,z); geometricamente é a área do anel r\,dr\,d\theta vezes a espessura dz.

Passo 4

Descrever a região S em coordenadas cilíndricas. O cilindro dá 0\le r\le a. O paraboloide dá z=r^{2}. O plano inferior é z=0. O ângulo varia 0\le\theta\le 2\pi. Assim, os limites são
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le a,\qquad 0\le z\le r^{2}.

Passo 5

Calcular a massa M. Como \delta=\delta_{0} é constante:
M=\iiint_{S}\delta_{0}\,dV=\delta_{0}\iiint_{S} dV.
Passando para cilíndricas:
M=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Calculo interno por partes: integrar em z primeiro:
\int_{0}^{r^{2}} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{r^{2}} = r\cdot r^{2}=r^{3}.
Então
M=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r^{3}\,dr\,d\theta.
Integrando em r:
\int_{0}^{a} r^{3}\,dr = \frac{a^{4}}{4}.
Integrando em \theta:
M=\delta_{0}\cdot 2\pi\cdot \frac{a^{4}}{4}=\delta_{0}\cdot \frac{\pi a^{4}}{2}.

Passo 6

Calcular o momento para obter \bar{z}, isto é N_z=\iiint_{S} z\,\delta_{0}\,dV. Em cilíndricas:
N_{z}=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{r^{2}} z\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integro em z primeiro:
\int_{0}^{r^{2}} z\,r\,dz = r\cdot\frac{z^{2}}{2}\Big|_{0}^{r^{2}} = r\cdot\frac{(r^{2})^{2}}{2}=r\cdot\frac{r^{4}}{2}=\frac{r^{5}}{2}.
Logo
N_{z}=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{r^{5}}{2}\,dr\,d\theta.
Integrando em r:
\int_{0}^{a} \frac{r^{5}}{2}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{a^{6}}{6}=\frac{a^{6}}{12}.
Integrando em \theta:
N_{z}=\delta_{0}\cdot 2\pi\cdot \frac{a^{6}}{12}=\delta_{0}\cdot \frac{\pi a^{6}}{6}.

Passo 7

A coordenada \bar{z} é \bar{z}=N_{z}/M. Substituindo M e N_{z}:
\bar{z}=\frac{\delta_{0}\cdot \frac{\pi a^{6}}{6}}{\delta_{0}\cdot \frac{\pi a^{4}}{2}}.
Cancelam \delta_{0} e \pi, ficando
\bar{z}=\frac{a^{6}/6}{a^{4}/2}=a^{2}\cdot\frac{1/6}{1/2}=a^{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{a^{2}}{3}.

Resposta

(0,0,\frac{a^{2}}{3})

Exercícios relacionados