(Exercício 1, 2 IV.6, pg180,181) Determine as coordenadas do centro de massa do sólido S com a densidade, \delta(x, y, z), dada: S é limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}, pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=0 ; \delta(x, y, z) constante.
Passo 1
O enunciado pede as coordenadas do centro de massa do sólido S com densidade constante \delta(x,y,z)=\delta_0. Dados fornecidos relevantes:
\begin{aligned} &\text{Região } S:\\ \text{limitada lateralmente pelo cilindro } x^{2}+y^{2}=a^{2},\\\ &\qquad\qquad\qquad\text{superiormente pelo paraboloide } z=x^{2}+y^{2},\\\ &\qquad\qquad\qquad\text{e inferiormente pelo plano } z=0.\\\ &\text{Densidade: } \delta(x,y,z)=\delta_0\\ (\text{constante}).\\\ &\text{O que se pede: } \text{as coordenadas }(\bar{x},\bar{y},\bar{z})\text{ do centro de massa de }S. \end{aligned}
Passo 2
Apresento as fórmulas gerais do centro de massa para um corpo de densidade \delta(x,y,z). Seja M a massa total:
Aqui x,y,z são as coordenadas espaciais e dV é o elemento de volume.
Passo 3
Observação de simetria (muito útil e economiza contas): a região S é rotacionalmente simétrica em torno do eixo z (o cilindro e o paraboloide dependem apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), e a densidade é constante. Por isso os momentos em x e y se anulam, logo
\bar{x}=0,\qquad \bar{y}=0.
Para ver isso explicitamente, usaremos coordenadas cilíndricas, onde
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
e o elemento de volume é
dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
Explicação curta: r\,dz\,dr\,d\theta vem do jacobiano da transformação cartesiana (x,y,z)\mapsto(r,\theta,z); geometricamente é a área do anel r\,dr\,d\theta vezes a espessura dz.
Passo 4
Descrever a região S em coordenadas cilíndricas. O cilindro dá 0\le r\le a. O paraboloide dá z=r^{2}. O plano inferior é z=0. O ângulo varia 0\le\theta\le 2\pi. Assim, os limites são