Um recipiente com forma de um cilindro de raio 3 m e altura 20 m . recebe agua a uma vazão de 1,5 m^3 por hora. Com velocidade sobe o nível da água quando a altura do nível da água for de 4 metros?

Passo 1

Então, a gente tem um cilindro com raio de 3 metros e altura de 20 metros. Esse cilindro está recebendo água a uma vazão de por hora. A pergunta é: quando a altura da água estiver chegando a 4 metros, quão rápido o nível da água está subindo? Vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado pela fórmula:
onde é o raio e é a altura da água no cilindro. Aqui, .

Passo 3

Queremos saber como a altura está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar . Sabemos que a água está entrando no cilindro a uma taxa de .

Passo 4

Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo para relacionar e :
A razão de variação do volume é igual à área da base do cilindro ( ) multiplicada pela taxa de variação da altura.

Passo 5

Agora, substituímos os valores que conhecemos na equação. Sabemos que e :

Passo 6

Vamos isolar na equação:

Resposta

A altura da água está subindo a uma taxa de , o que aproximadamente dá .

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