Um recipiente com forma de um cilindro de raio 3 m e altura 20 m . recebe agua a uma vazão de
por hora. Com velocidade sobe o nível da água quando a altura do nível da água for de 4 metros?
Passo 1
Então, a gente tem um cilindro com raio de 3 metros e altura de 20 metros. Esse cilindro está recebendo água a uma vazão de
por hora. A pergunta é: quando a altura da água estiver chegando a 4 metros, quão rápido o nível da água está subindo? Vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de um cilindro é dado pela fórmula:
onde
é o raio e
é a altura da água no cilindro. Aqui,
.
Passo 3
Queremos saber como a altura
está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar
. Sabemos que a água está entrando no cilindro a uma taxa de
.
Passo 4
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo para relacionar
e
:
A razão de variação do volume é igual à área da base do cilindro (
) multiplicada pela taxa de variação da altura.
Passo 5
Agora, substituímos os valores que conhecemos na equação. Sabemos que
e
:
Passo 6
Vamos isolar
na equação:
Resposta
A altura da água está subindo a uma taxa de
, o que aproximadamente dá
.