Determine m \in \mathbb{R} para que o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\\ x+2 y+m z=0 \\\ x+4 y+m^{2} z=0\end{array}\right. só admita a solução trivial.

Passo 1

O enunciado pede: determinar m\in\mathbb{R}\) para que o sistema \[\begin{cases} x+y+z=0\\[4pt] x+2y+mz=0\\[4pt] x+4y+m^{2}z=0 \end{cases}
admita apenas a solução trivial. Informações relevantes dadas:
\text{as incógnitas são }x,y,z\quad\text{e o sistema é homogêneo (termos constantes zero).}óãéê
A solução trivial é \(x,y,z)=(0,0,0)\].\]

Passo 2

Estratégia (teoria necessária, explicada com calma): para um sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=0 com matriz de coeficientes A,
  • se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o único vetor solução é \mathbf{x}=0 (a única solução é a trivial);
  • se \det(A)=0 então A não é invertível e existem soluções não triviais (infinitas soluções), porque o núcleo de A tem dimensão \ge 1.
    Portanto, basta calcular o determinante da matriz dos coeficientes e exigir que ele seja diferente de zero.

Passo 3

Escrevo a matriz dos coeficientes A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & m\\[4pt] 1 & 4 & m^{2} \end{pmatrix}
Vou calcular \det(A) desenvolvendo pela primeira linha. A fórmula de desenvolvimento por co-fatores pela primeira linha dá
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & m\\[4pt]4 & m^{2}\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & m\\[4pt]1 & m^{2}\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo cada determinante 2×2:
\det\begin{pmatrix}2 & m\\[4pt]4 & m^{2}\end{pmatrix}=2\cdot m^{2}-4\cdot m=2m^{2}-4m,
\det\begin{pmatrix}1 & m\\[4pt]1 & m^{2}\end{pmatrix}=1\cdot m^{2}-1\cdot m=m^{2}-m,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}=1\cdot 4-1\cdot 2=2.
Substituindo na expressão de \det(A):
\det(A)=(2m^{2}-4m)-(m^{2}-m)+2.]

Passo 5

Simplifico a expressão:
\det(A)=2m^{2}-4m-m^{2}+m+2=m^{2}-3m+2.
Faço fatoração do polinômio quadrático:
m^{2}-3m+2=(m-1)(m-2).

Passo 6

Interpretação: \det(A)=0 exatamente quando m=1 ou m=2. Pelo que dissemos no Passo 2, o sistema terá apenas a solução trivial quando \det(A)\neq 0, ou seja, quando m não for 1 nem 2.

Passo 7

Para reforçar (verificação rápida nos casos singulares): se m=1\) as três equações ficam \[\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] x+2y+z=0,\\[4pt] x+4y+z=0, \end{cases}
daí subtraindo a primeira da segunda dá y=0\] e então sobra \(x+z=0, o que permite infinitas soluções não triviais (por exemplo x=1,z=-1,y=0). Se m=2 ocorre outra dependência linear entre equações e também há infinitas soluções. Isso confirma que em m=1 ou m=2 há soluções não triviais.]

Resposta

\;m\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\}

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