Determine m \in \mathbb{R} para que o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\\ x+2 y+m z=0 \\\ x+4 y+m^{2} z=0\end{array}\right. só admita a solução trivial.
Passo 1
O enunciado pede: determinar m\in\mathbb{R}\) para que o sistema
\[\begin{cases} x+y+z=0\\[4pt] x+2y+mz=0\\[4pt] x+4y+m^{2}z=0 \end{cases}
admita apenas a solução trivial. Informações relevantes dadas:
\text{as incógnitas são }x,y,z\quad\text{e o sistema é homogêneo (termos constantes zero).}óãéê
A solução trivial é \(x,y,z)=(0,0,0)\].\]
Passo 2
Estratégia (teoria necessária, explicada com calma): para um sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=0 com matriz de coeficientes A,
se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o único vetor solução é \mathbf{x}=0 (a única solução é a trivial);
se \det(A)=0 então A não é invertível e existem soluções não triviais (infinitas soluções), porque o núcleo de A tem dimensão \ge 1.
Portanto, basta calcular o determinante da matriz dos coeficientes e exigir que ele seja diferente de zero.
Interpretação: \det(A)=0 exatamente quando m=1 ou m=2. Pelo que dissemos no Passo 2, o sistema terá apenas a solução trivial quando \det(A)\neq 0, ou seja, quando m não for 1 nem 2.
Passo 7
Para reforçar (verificação rápida nos casos singulares): se m=1\) as três equações ficam
\[\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] x+2y+z=0,\\[4pt] x+4y+z=0, \end{cases}
daí subtraindo a primeira da segunda dá y=0\] e então sobra \(x+z=0, o que permite infinitas soluções não triviais (por exemplo x=1,z=-1,y=0). Se m=2 ocorre outra dependência linear entre equações e também há infinitas soluções. Isso confirma que em m=1 ou m=2 há soluções não triviais.]