Use eliminação de Gauss para determinar os valores de m e n tais que o sistema de equações lineares \left\{\begin{aligned} x+2 y+m z & =-1 \\\\ 3 x+y+z & =4 \\\\ -2 x+4 y-2 z & =n\end{aligned}\right. seja possível e indeterminado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de m e n tais que o sistema
seja possível e indeterminado (ou seja, tenha infinitas soluções). As informações relevantes que temos são exatamente as três equações acima; não há outras condições. Vamos transformar o sistema por eliminação de Gauss e usar a condição de sistema possível e indeterminado (posto da matriz dos coeficientes igual ao posto da matriz aumentada e menor que o número de incógnitas).]
Passo 2
Vou escrever a matriz aumentada do sistema e lembrar o que fazemos com eliminação de Gauss: aplicamos operações elementares nas linhas para obter zeros abaixo dos pivôs, simplificando a matriz até uma forma triangular. A matriz aumentada é
Cada número ou variável acima está em notação matemática. A ideia é zerar as entradas abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha, primeira coluna).]
Passo 3
Eliminação com pivot da primeira linha: fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1. Vou calcular cada entrada resultante passo a passo.
Agora queremos zerar a entrada da terceira linha, segunda coluna. Usamos a segunda linha como pivô. O fator para eliminar é \dfrac{8}{-5} = -\dfrac{8}{5}. Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 + \dfrac{8}{5}R_2. Vou calcular a terceira coluna e o termo independente da nova R_3 de forma detalhada.
Para que o sistema seja indeterminado (infinitas soluções) precisamos que o posto da matriz dos coeficientes seja menor que 3 e igual ao posto da matriz aumentada. Pela forma triangular que obtivemos, isso significa que a terceira linha das colunas de coeficientes deve ser a linha zero (para reduzir o posto para 2), e o correspondente termo independente deve também ser zero (para manter consistência). Portanto exigimos
Verificação e comentários finais: com m=-\dfrac{1}{7} a segunda linha (após a primeira eliminação) é [0\\\ -5\\\ 1-3m] e tem coeficientes não todos nulos (pois -5\neq 0), então o posto da matriz de coeficientes é exatamente 2. Como também fizemos a RHS ficar zero na terceira linha com n=-\dfrac{46}{5}, o posto da matriz aumentada é igual a 2. Assim o sistema é possível (consistente) e indeterminado (infinitas soluções). Respire, você conseguiu — é só essa única escolha de m e n.