Use eliminação de Gauss para determinar os valores de m e n tais que o sistema de equações lineares \left\{\begin{aligned} x+2 y+m z & =-1 \\\\ 3 x+y+z & =4 \\\\ -2 x+4 y-2 z & =n\end{aligned}\right. seja possível e indeterminado.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de m e n tais que o sistema
\begin{cases} x+2y+mz=-1\\[4pt] 3x+y+z=4\\[4pt] -2x+4y-2z=n \end{cases}
seja possível e indeterminado (ou seja, tenha infinitas soluções). As informações relevantes que temos são exatamente as três equações acima; não há outras condições. Vamos transformar o sistema por eliminação de Gauss e usar a condição de sistema possível e indeterminado (posto da matriz dos coeficientes igual ao posto da matriz aumentada e menor que o número de incógnitas).]

Passo 2

Vou escrever a matriz aumentada do sistema e lembrar o que fazemos com eliminação de Gauss: aplicamos operações elementares nas linhas para obter zeros abaixo dos pivôs, simplificando a matriz até uma forma triangular. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & m & -1\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4\\[4pt] -2 & 4 & -2 & n \end{array}\right].
Cada número ou variável acima está em notação matemática. A ideia é zerar as entradas abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha, primeira coluna).]

Passo 3

Eliminação com pivot da primeira linha: fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1. Vou calcular cada entrada resultante passo a passo.
Para R_2 - 3R_1:
  • segunda coluna: 1 - 3\cdot 2 = 1 - 6 = -5,
  • terceira coluna: 1 - 3\cdot m = 1 - 3m,
  • termo independente: 4 - 3\cdot(-1) = 4 + 3 = 7.
Para R_3 + 2R_1:
  • segunda coluna: 4 + 2\cdot 2 = 4 + 4 = 8,
  • terceira coluna: -2 + 2\cdot m = -2 + 2m,
  • termo independente: n + 2\cdot(-1) = n - 2.
Após essas operações a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & m & -1\\[4pt] 0 & -5 & 1-3m & 7\\[4pt] 0 & 8 & -2+2m & n-2 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora queremos zerar a entrada da terceira linha, segunda coluna. Usamos a segunda linha como pivô. O fator para eliminar é \dfrac{8}{-5} = -\dfrac{8}{5}. Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 + \dfrac{8}{5}R_2. Vou calcular a terceira coluna e o termo independente da nova R_3 de forma detalhada.
Terceira coluna da nova R_3:
(-2+2m) + \frac{8}{5}(1-3m).
Colocando sobre denominador 5:
\frac{-10+10m + 8 -24m}{5} = \frac{-2 -14m}{5}.
Termo independente da nova R_3:
(n-2) + \frac{8}{5}\cdot 7 = n-2 + \frac{56}{5} = \frac{5n -10 +56}{5} = \frac{5n+46}{5}.
Assim a linha R_3 passa a ser
\left[0\quad 0\quad \frac{-2-14m}{5}\\ \middle|\\ \frac{5n+46}{5}\right].

Passo 5

Para que o sistema seja indeterminado (infinitas soluções) precisamos que o posto da matriz dos coeficientes seja menor que 3 e igual ao posto da matriz aumentada. Pela forma triangular que obtivemos, isso significa que a terceira linha das colunas de coeficientes deve ser a linha zero (para reduzir o posto para 2), e o correspondente termo independente deve também ser zero (para manter consistência). Portanto exigimos
\frac{-2-14m}{5}=0 \qquad\text{e}\qquad \frac{5n+46}{5}=0.
Agora resolvemos essas duas equações.
Da primeira:
-2-14m=0 \implies -14m=2 \implies m=-\frac{1}{7}.
Da segunda:
5n+46=0 \implies n=-\frac{46}{5}.

Passo 6

Verificação e comentários finais: com m=-\dfrac{1}{7} a segunda linha (após a primeira eliminação) é [0\\\ -5\\\ 1-3m] e tem coeficientes não todos nulos (pois -5\neq 0), então o posto da matriz de coeficientes é exatamente 2. Como também fizemos a RHS ficar zero na terceira linha com n=-\dfrac{46}{5}, o posto da matriz aumentada é igual a 2. Assim o sistema é possível (consistente) e indeterminado (infinitas soluções). Respire, você conseguiu — é só essa única escolha de m e n.

Resposta

m=-\dfrac{1}{7}
n=-\dfrac{46}{5}

Exercícios relacionados