Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{rl}x+3 y+3 z & =13 \\\\ 2 x+5 y+4 z & =23 \\\\ 2 x+7 y+8 z & =29\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede que o resolvamos por eliminação de Gauss-Jordan:
\begin{cases} x+3y+3z=13\\[4pt] 2x+5y+4z=23\\[4pt] 2x+7y+8z=29 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
\;1) As três equações lineares acima com incógnitas x,y,z.\n \;2) Devemos usar eliminação de Gauss-Jordan (ou seja, transformar a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas).\n \;3) Não há mais informações externas — o sistema pode ser possível e determinado, possível e indeterminado, ou impossível; vamos descobrir.]

Passo 2

Primeiro passo na prática: escrever a matriz aumentada do sistema. Cada linha corresponde a uma equação, as colunas às incógnitas e a última coluna aos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 3 & 13\\[4pt] 2 & 5 & 4 & 23\\[4pt] 2 & 7 & 8 & 29 \end{array}\right]
Comentário didático curto: a matriz aumentada organiza tudo para aplicarmos operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma reduzida por linhas (RREF).]

Passo 3

Vamos zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (o pivô atual é 1 na linha 1, coluna 1). Fazemos operações nas linhas:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Calculemos cada linha:
R_2: \;[2,5,4\mid 23] - 2\cdot[1,3,3\mid 13] = [0,\,5-6,\,4-6\mid 23-26] = [0,\,-1,\,-2\mid -3].
R_3: \;[2,7,8\mid 29] - 2\cdot[1,3,3\mid 13] = [0,\,7-6,\,8-6\mid 29-26] = [0,\,1,\,2\mid 3].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 3 & 13\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora queremos um pivô igual a 1 na segunda linha, segunda coluna. A linha 2 tem -1 nessa posição; multiplica-la por -1 normaliza o pivô:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2.
Então
R_2 = [0,1,2\mid 3].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 3 & 13\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right].
Observação: as linhas 2 e 3 agora são iguais; isso antecipa uma possível dependência linear entre as equações.]

Passo 5

Eliminamos os outros termos na coluna do pivô (segunda coluna), ou seja, tornamos a entrada na linha 1, coluna 2 igual a zero e também a da linha 3, coluna 2. Usamos R_2 como referência:
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 1R_2.
Calculemos:
R_1: \;[1,3,3\mid 13] - 3\cdot[0,1,2\mid 3] = [1,\,0,\,3-6\mid 13-9] = [1,\,0,\,-3\mid 4].
R_3: \;[0,1,2\mid 3] - [0,1,2\mid 3] = [0,0,0\mid 0].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -3 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação dessa forma reduzida por linhas parcial: a terceira linha é toda zerada [0\;0\;0\mid 0], que corresponde à equação 0=0 — ou seja, não impõe restrição nova. Temos pivôs em colunas 1 e 2, mas não na coluna 3. Isso significa que z é uma variável livre (não pivô). Quando há menos pivôs do que incógnitas, o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por variáveis livres (desde que não apareça uma linha impossível como [0\;0\;0\mid c] com c\neq0; aqui não apareceu, então o sistema é compatível indeterminado).

Passo 7

Escrevemos as equações correspondentes às duas primeiras linhas (as únicas não-triviais):
\text{linha 1: }\;x - 3z = 4,
\text{linha 2: }\;y + 2z = 3.
Como z é variável livre, atribuímos um parâmetro para ela, por exemplo t\in\mathbb{R} e colocamos
z = t.
Agora isolamos x e y em função de t:
x = 4 + 3z = 4 + 3t,
y = 3 - 2z = 3 - 2t.

Passo 8

Portanto a solução geral (família de soluções) do sistema é
(x,y,z) = (4+3t,\;3-2t,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Como verificação rápida: escolhendo t=0 obtemos a solução particular (x,y,z)=(4,3,0). Substituindo numa das equações originais: 4+3\cdot3+3\cdot0=4+9=13 confere; demais equações também conferem.

Resposta

(x,y,z)=(4+3t,\;3-2t,\;t),\\ t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados