Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan: \left\{\begin{array}{rl}x+3 y+3 z & =13 \\\\ 2 x+5 y+4 z & =23 \\\\ 2 x+7 y+8 z & =29\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede que o resolvamos por eliminação de Gauss-Jordan:
Informações relevantes fornecidas: \;1) As três equações lineares acima com incógnitas x,y,z.\n\;2) Devemos usar eliminação de Gauss-Jordan (ou seja, transformar a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas).\n\;3) Não há mais informações externas — o sistema pode ser possível e determinado, possível e indeterminado, ou impossível; vamos descobrir.]
Passo 2
Primeiro passo na prática: escrever a matriz aumentada do sistema. Cada linha corresponde a uma equação, as colunas às incógnitas e a última coluna aos termos independentes:
Comentário didático curto: a matriz aumentada organiza tudo para aplicarmos operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma reduzida por linhas (RREF).]
Passo 3
Vamos zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (o pivô atual é 1 na linha 1, coluna 1). Fazemos operações nas linhas:
Observação: as linhas 2 e 3 agora são iguais; isso antecipa uma possível dependência linear entre as equações.]
Passo 5
Eliminamos os outros termos na coluna do pivô (segunda coluna), ou seja, tornamos a entrada na linha 1, coluna 2 igual a zero e também a da linha 3, coluna 2. Usamos R_2 como referência:
Interpretação dessa forma reduzida por linhas parcial: a terceira linha é toda zerada [0\;0\;0\mid 0], que corresponde à equação 0=0 — ou seja, não impõe restrição nova. Temos pivôs em colunas 1 e 2, mas não na coluna 3. Isso significa que z é uma variável livre (não pivô). Quando há menos pivôs do que incógnitas, o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por variáveis livres (desde que não apareça uma linha impossível como [0\;0\;0\mid c] com c\neq0; aqui não apareceu, então o sistema é compatível indeterminado).
Passo 7
Escrevemos as equações correspondentes às duas primeiras linhas (as únicas não-triviais):
\text{linha 1: }\;x - 3z = 4,
\text{linha 2: }\;y + 2z = 3.
Como z é variável livre, atribuímos um parâmetro para ela, por exemplo t\in\mathbb{R} e colocamos
z = t.
Agora isolamos x e y em função de t:
x = 4 + 3z = 4 + 3t,
y = 3 - 2z = 3 - 2t.
Passo 8
Portanto a solução geral (família de soluções) do sistema é
Como verificação rápida: escolhendo t=0 obtemos a solução particular (x,y,z)=(4,3,0). Substituindo numa das equações originais: 4+3\cdot3+3\cdot0=4+9=13 confere; demais equações também conferem.