Para quais valores de m \in \mathbb{R} o sistema \left\{\begin{aligned} x+y-m z & =0 \\\ m x+y-z & =2-m \\\ x+m y-z & =-m\end{aligned}\right.. Não tem solução ? Exatamente uma solução ? Infinitas soluções ?
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y-m z = 0,\\[4pt] m x+y-z = 2-m,\\[4pt] x+m y-z = -m, \end{cases}
e pergunta para quais valores de m\in\mathbb{R} o sistema (i) não tem solução, (ii) tem exatamente uma solução, (iii) tem infinitas soluções.
As informações relevantes que temos já aqui são as três equações lineares em x,y,z com parâmetro m. A estratégia padrão para esse tipo de problema é estudar a matriz dos coeficientes e o vetor termo independente, e verificar determinante/posto para classificar soluções (isso será feito nos passos seguintes).]
Passo 2
Formo a matriz dos coeficientes A e o vetor coluna dos termos independentes \mathbf{b}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -m\\[4pt] m & 1 & -1\\[4pt] 1 & m & -1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2-m\\[4pt]-m\end{pmatrix}.
Lembre: para um sistema linear quadrado A\mathbf{x}=\mathbf{b}, se \det(A)\neq0 há solução única; se \det(A)=0 precisamos comparar o posto de A com o posto da matriz aumentada (A|\mathbf{b}) para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.]
Passo 3
Calculo o determinante \Delta=\det(A). Vou desenvolver por cofatores (mostrando todos os passos):
Verifico raízes do polinômio p(m)=m^3-3m+2. Substituindo m=1 temos 1-3+2=0, logo m-1 é fator. Faço a fatoração:
m^3-3m+2=(m-1)(m^2+m-2).
O quadrático m^2+m-2 fatora como (m+2)(m-1) porque (m+2)(m-1)=m^2+m-2. Assim
m^3-3m+2=(m-1)^2(m+2).
Portanto
\Delta=-(m-1)^2(m+2).
Logo \Delta=0 exatamente para m=1 (raiz dupla) e m=-2.
Passo 5
Interpretação imediata: se \Delta\neq0 (isto é, se m\neq1 e m\neq-2) então a matriz A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução. Resta analisar com detalhes os dois casos \,m=1 e \,m=-2, onde \Delta=0.
Passo 6
Caso m=1\). Substituo nas equações originais:
\[\begin{cases} x+y-1\cdot z=0,\\[4pt] 1\cdot x+y-z=2-1=1,\\[4pt] x+1\cdot y-z=-1. \end{cases}
Os três coeficientes à esquerda são idênticos (a mesma expressão x+y-z\]) mas os termos à direita são \(0,1,-1. Isso significa que exigimos simultaneamente
x+y-z=0,\qquad x+y-z=1,\qquad x+y-z=-1,
o que é impossível (uma mesma expressão não pode ter três valores diferentes). Em termos de matrizes: todas as linhas de A são iguais, então \operatorname{rank}(A)=1, mas as entradas de \mathbf{b} não são proporcionais de modo compatível, logo \operatorname{rank}(A|\mathbf{b})> \operatorname{rank}(A). Conclusão: para m=1 o sistema é incompatível (não tem solução).]
Passo 7
Caso m=-2\). Substituo \(m=-2\) nas equações:
\[\begin{cases} x+y-(-2)z = x+y+2z =0,\\[4pt] -2x+y-z = 2-(-2)=4,\\[4pt] x-2y-z = -(-2)=2. \end{cases}
Escrevo a matriz aumentada e faço operações para checar compatibilidade:
Agora somando a segunda e a terceira linhas obtemos:
(0\;0\;0\;|\;6),
ou seja, a combinação linear das três equações dá 0=6, absurdo. Em termos de posto: as três linhas das colunas de coeficientes satisfazem uma relação linear (posto de A é 2), mas a mesma combinação aplicada aos termos independentes produz 6\neq0, então \operatorname{rank}(A|\mathbf{b})=3>\operatorname{rank}(A). Conclusão: para m=-2 o sistema também é incompatível (não tem solução).]
Passo 8
Resumo das conclusões lógicas (sem repetir as respostas formatadas):
O determinante se anula exatamente em m=1 e m=-2. Para todos os outros m a matriz é invertível e há solução única.
Em m=1 e m=-2 o sistema fica inconsistente (posto aumentado maior que o posto da matriz dos coeficientes), então não há solução nesses dois valores.
Logo não existe nenhum valor de m que gere infinitas soluções (pois os únicos zeros do determinante são inconsistentes).
Resposta
Sem solução: m=1 e m=-2.
Exatamente uma solução: m\in\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}.
Infinitas soluções: nenhum m (não há valores reais).