Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=\left(y e^{x y}+4 x^{3} y\right) \mathbf{i}+\left(x e^{x y}+x^{4}\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) com
P(x,y) = y\,e^{xy} + 4x^3y, \qquad Q(x,y) = x\,e^{xy} + x^4
é conservativo, isto é, se existe uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f = \mathbf{F}. Num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), basta checar se
\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{xy}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^3y\bigr) = e^{xy} + x\,y\,e^{xy} + 4x^3.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{xy}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^4\bigr) = e^{xy} + x\,y\,e^{xy} + 4x^3.

Passo 4

Como
\frac{\partial P}{\partial y} = e^{xy} + x\,y\,e^{xy} + 4x^3 = \frac{\partial Q}{\partial x},
concluímos que \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 5

Para achar a potencial f(x,y), integramos P em x:
f(x,y) = \int P(x,y)\,dx = \int \bigl(y\,e^{xy} + 4x^3y\bigr)\,dx = \mathrm{e}^{xy} + x^4y + h(y),
onde h(y) é uma função apenas de y.

Passo 6

Impondo f_y = Q, temos
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mathrm{e}^{xy} + x^4y + h(y)\bigr) = x\,e^{xy} + x^4 + h'(y) \stackrel{!}{=} x\,e^{xy} + x^4,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

\mathbf{F} é conservativo e uma escolha de potencial é
f(x,y) = \mathrm{e}^{xy} + x^4y + C,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados