Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}+y\right) \mathbf{i}+\left(y^{2}+x\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) \quad\text{com}\quad P(x,y)=x^2+y,\;Q(x,y)=y^2+x
é conservativo. Como o domínio de \mathbf{F} é \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, basta usar o critério
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y) =1,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(y^2+x) =1.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}, integramos P em relação a x:
f(x,y) =\int P(x,y)\,dx =\int (x^2+y)\,dx =\frac{x^3}{3}+xy+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo f_y=Q, temos
f_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{x^3}{3}+xy+g(y)\Bigr) =x+g'(y) \stackrel{!}{=}y^2+x.
Logo g'(y)=y^2, e integrando em y:
g(y)=\int y^2\,dy=\frac{y^3}{3}+C.
Podemos escolher C=0 sem perda de generalidade.

Resposta

Sim, \mathbf{F} é conservativo. Uma função potencial é
f(x,y)=\frac{x^3}{3}+xy+\frac{y^3}{3}.

Exercícios relacionados