Encontre a derivada das funções:
f(x)=x \sqrt[3]{2-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x\sqrt[3]{2-x^{2}} = x\,(2 - x^{2})^{\tfrac13}.
Para resolver isso, vamos usar a regra do produto (pois f é produto de duas funções de x) e a regra da cadeia (para derivar (2 - x^{2})^{1/3}).

Passo 2

Aplicando a regra do produto, se f(x)=u(x)\,v(x) então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x)=x e v(x)=(2 - x^{2})^{\tfrac13}, logo
f'(x)=1\cdot(2 - x^{2})^{\tfrac13} + x\cdot \frac{d}{dx}\bigl[(2 - x^{2})^{\tfrac13}\bigr].

Passo 3

Para derivar v(x)=(2 - x^{2})^{\tfrac13}, usamos a regra da cadeia. Seja g(t)=t^{\tfrac13} e t(x)=2 - x^{2}. Então
g'(t)=\tfrac13\,t^{-\tfrac23}, \quad t'(x)=-2x,
e
v'(x)=g'\bigl(t(x)\bigr)\,t'(x) =\tfrac13\,(2 - x^{2})^{-\tfrac23}\,(-2x) =-\frac{2x}{3}\,(2 - x^{2})^{-\tfrac23}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=(2 - x^{2})^{\tfrac13} + x\!\Bigl(-\frac{2x}{3}\,(2 - x^{2})^{-\tfrac23}\Bigr) =(2 - x^{2})^{\tfrac13} -\frac{2x^{2}}{3}\,(2 - x^{2})^{-\tfrac23}.
Para simplificar, fatoramos (2 - x^{2})^{-\tfrac23}:
f'(x) =(2 - x^{2})^{-\tfrac23}\Bigl[(2 - x^{2})^{\;1} -\tfrac{2x^{2}}{3}\Bigr] =(2 - x^{2})^{-\tfrac23}\Bigl[2 - x^{2} -\tfrac{2x^{2}}{3}\Bigr] =(2 - x^{2})^{-\tfrac23}\,\frac{6 - 5x^{2}}{3}.

Resposta

f'(x) =\frac{6 - 5x^{2}}{3\,(2 - x^{2})^{\tfrac{2}{3}}}.

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