Expresse o produto A \mathbf{x} como uma combinação linear dos vetores coluna de A.
\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & -1 \\\\ 3 & 6 & 2 \\\\ 0 & -1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3 \\\\ 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o produto matricial
\begin{pmatrix}4 & 0 & -1 \\[4pt] 3 & 6 & 2 \\[4pt] 0 & -1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\[4pt] 3 \\[4pt] 5\end{pmatrix}
e pede para expressar esse produto como uma combinação linear dos vetores coluna da matriz. Informações fornecidas que vamos usar: os elementos da matriz (cada coluna) e os componentes do vetor \mathbf{x}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): uma combinação linear de vetores é quando multiplicamos cada vetor por um escalar e depois somamos os resultados. Se uma matriz A tem colunas a_1,a_2,a_3 e \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^T, então o produto matricial é justamente a combinação linear
A\mathbf{x}=x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3.
Aqui a_j são vetores coluna (cada um com as entradas da coluna j) e x_j são os escalares (as componentes de \mathbf{x}). Cada multiplicação x_j a_j escala todas as entradas de a_j; depois somamos componente a componente.

Passo 3

Identificamos explicitamente as colunas da matriz (peguei esses vetores da própria matriz dada):
a_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad a_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]6\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad a_3=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
As componentes do vetor \mathbf{x} são x_1=-2, x_2=3, x_3=5.]

Passo 4

Escrevemos o produto como combinação linear usando as componentes de \mathbf{x}:
A\mathbf{x}=(-2)\,a_1 + 3\,a_2 + 5\,a_3.
Isto significa que vamos multiplicar cada coluna pelo escalar correspondente e somar.

Passo 5

Calculemos cada coluna escalada (mostrando a multiplicação entrada a entrada):
(-2)\,a_1 = (-2)\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\[4pt]-6\\[4pt]0\end{pmatrix},
3\,a_2 = 3\begin{pmatrix}0\\[4pt]6\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]18\\[4pt]-3\end{pmatrix},
5\,a_3 = 5\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\[4pt]10\\[4pt]20\end{pmatrix}.]

Passo 6

Somamos essas três colunas componente a componente:
primeira componente: -8 + 0 + (-5) = -13.
segunda componente: -6 + 18 + 10 = 22.
terceira componente: 0 + (-3) + 20 = 17.

Resposta

\begin{pmatrix}-13\\[4pt]22\\[4pt]17\end{pmatrix}]

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