Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=\left(3 x^{2}-4 y\right) \mathbf{i}+\left(4 y^{2}-2 x\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) = \bigl(3x^2 - 4y,\;4y^2 - 2x\bigr)
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f = \mathbf{F}.
Em uma região simples e simplesmente conexa (como \mathbb{R}^2) basta checar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^2 - 4y\bigr) =-4,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4y^2 - 2x\bigr) =-2.

Passo 3

Como
\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = -4\neq -2 = \frac{\partial Q}{\partial x},
o campo não satisfaz a condição de curl nulo. Logo, \mathbf{F} não é conservativo e não existe função potencial f com \nabla f=\mathbf{F}.

Resposta

\mathbf{F} não é um campo vetorial conservativo.

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