Encontre a derivada das funções:
g(x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\frac{\cos x}{\sin^{2}(3x)},
logo o conteúdo principal é a regra do quociente combinada com a regra da cadeia, pois o denominador é uma composição \sin^{2}(3x).

Passo 2

Definimos
u(x)=\cos x,
cuja derivada é
u'(x)=-\sin x.

Passo 3

Definimos
v(x)=\sin^{2}(3x).
Para derivar v usamos a regra da cadeia em dois níveis: se f(u)=u^{2} e u=h(x)=\sin(3x), então
f'(u)=2u \quad\text{e}\quad h'(x)=\cos(3x)\cdot3.
Logo
v'(x)=2\,\sin(3x)\cdot\bigl(3\cos(3x)\bigr) =6\,\sin(3x)\,\cos(3x).

Passo 4

Pela regra do quociente,
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{-\sin x\;\sin^{2}(3x)\;-\;\cos x\;6\,\sin(3x)\cos(3x)}{\sin^{4}(3x)}.

Passo 5

No numerador fatoramos \sin(3x):
-\sin x\,\sin^{2}(3x)-6\,\cos x\,\sin(3x)\cos(3x) =-\sin(3x)\Bigl[\sin x\,\sin(3x)+6\,\cos x\,\cos(3x)\Bigr].
Dividindo por \sin^{4}(3x) sobra \sin^{3}(3x) no denominador, de modo que
g'(x) =-\frac{\sin(3x)\bigl[\sin x\,\sin(3x)+6\,\cos x\,\cos(3x)\bigr]}{\sin^{4}(3x)} =-\frac{\sin x\,\sin(3x)+6\,\cos x\,\cos(3x)}{\sin^{3}(3x)}.

Resposta

g'(x) =-\frac{\sin x\,\sin(3x)+6\,\cos x\,\cos(3x)}{\sin^{3}(3x)}.

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