Determine se \mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
5. \mathbf{F}(x, y)=e^{x} \cos y \mathbf{i}+e^{x} \operatorname{sen} y \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\cos y\,\mathbf{i}+e^{x}\sin y\,\mathbf{j}
e pede para verificar se ele é conservador. Se for, precisamos encontrar uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}. O domínio implícito é \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, então basta checar se o rotacional (curl) de \mathbf{F} é nulo.

Passo 2

Em \mathbb{R}^2, a condição necessária e suficiente para \mathbf{F}=(F_{1},F_{2}) ser conservador é
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} = \frac{\partial F_{2}}{\partial x}.

Passo 3

Calculamos
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) = -e^{x}\sin y.

Passo 4

Calculamos
\frac{\partial F_{2}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) = e^{x}\sin y.

Passo 5

Comparando os resultados:
\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=-e^{x}\sin y \quad\text{e}\quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=e^{x}\sin y,
esses não são iguais em geral. Logo o rotacional não é zero e \mathbf{F} não é conservador.

Resposta

\mathbf{F} não é um campo conservador.

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