Questão 5

Use uma série de potências centrada em zero para resolver a equação diferencial
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(1+x^{2})\,y''-4x\,y'+4y=0
usando uma série de potências em torno de x=0.
Vamos supor
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
calcular y' e y'', substituir na EDO e obter uma relação de recorrência para os coeficientes a_{n}.

Passo 2

Escrevendo as derivadas term a term:
y'=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1}, \quad y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2}.
Então
(1+x^{2})y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2} +\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n},
-4x\,y'=-4\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n}, \quad 4y=4\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Agora reindexamos a primeira soma definindo k=n-2 e combinamos tudo como potências de x^{k}.

Passo 3

Após reindexar, obtemos a série única
\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl[(k+2)(k+1)\,a_{k+2}+\bigl(k(k-1)-4k+4\bigr)a_{k}\Bigr]x^{k}=0.
Para que isso valha para todo k, o coeficiente de cada x^{k} deve ser zero, isto é
(k+2)(k+1)\,a_{k+2}+\bigl(k^{2}-5k+4\bigr)a_{k}=0.
Como k^{2}-5k+4=(k-1)(k-4), a relação de recorrência fica
a_{k+2}=-\frac{(k-1)(k-4)}{(k+2)(k+1)}\,a_{k}.

Passo 4

Agora encontramos os primeiros coeficientes a partir de a_{0} e a_{1}:
Para k=0:
a_{2}=-\frac{(-1)(-4)}{2\cdot1}\,a_{0}=-2\,a_{0}.
Para k=1:
a_{3}=-\frac{(0)(-3)}{3\cdot2}\,a_{1}=0.
Para k=2:
a_{4}=-\frac{(1)(-2)}{4\cdot3}\,a_{2} =\frac{2}{12}(-2a_{0})=-\tfrac{1}{3}a_{0}.
Para k=4 aparece (k-4)=0, então a_{6}=0 e daí em diante todos os a_{2n} com n\ge3 são zero.
Conclusão: a parte par gera um polinômio de grau 4 e a parte ímpar só tem o termo a_{1}x.

Passo 5

Escolhendo a_{0}=1 e a_{1}=0 obtemos a solução par
y_{1}(x)=1-2x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{4}.
Escolhendo a_{0}=0 e a_{1}=1 obtemos a solução ímpar
y_{2}(x)=x.
Como são duas soluções lineares independentes, a solução geral é
y(x)=C_{1}\bigl(1-2x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{4}\bigr)+C_{2}\,x.

Resposta

\boxed{y(x)=C_{1}\bigl(1-2x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{4}\bigr)+C_{2}\,x.}

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