Exercício 1. Calcular a integral de linha da função vetorial
F(x, y)=\left(x+2 y, \frac{(\operatorname{sec} y)^{2} e^{t g y}}{2}+4 x\right)
ao longo da curva que liga o ponto (2,0) ao ponto (0,0) e é definida pela equação y=\sqrt{1-(x-1)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}P\,dx + Q\,dy
onde
P(x,y)=x+2y, \quad Q(x,y)=\frac{(\operatorname{sec} y)^2\,e^{\tan y}}{2}+4x,
ao longo da curva C que liga (2,0) a (0,0) definida por y=\sqrt{1-(x-1)^2},
isto é, o semicírculo superior de rádio 1 centrado em (1,0).
Conteúdo: integrais de linha de campos não-conservativos e decomposição em diferenciais exatos.

Passo 2

Vamos escrever P\,dx + Q\,dy como soma de diferenciais exatos mais um termo mais simples. Note que
  1. d\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr)=x\,dx.
  2. d\bigl(2xy\bigr)=2y\,dx + 2x\,dy.
  3. d\bigl(e^{\tan y}\bigr)=e^{\tan y}\operatorname{sec}^2 y\,dy, logo
\frac{(\operatorname{sec} y)^2\,e^{\tan y}}{2}\,dy =\frac{1}{2}\,d\bigl(e^{\tan y}\bigr).
Assim
P\,dx + Q\,dy =x\,dx + 2y\,dx +\frac{(\operatorname{sec} y)^2\,e^{\tan y}}{2}\,dy +4x\,dy
\quad = d\!\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\Bigr) + \bigl(2y\,dx+2x\,dy\bigr) +2x\,dy +\frac{1}{2}\,d\bigl(e^{\tan y}\bigr)
\quad = d\!\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\Bigr) + d\!\bigl(2xy\bigr) +2x\,dy +\frac{1}{2}\,d\bigl(e^{\tan y}\bigr).

Passo 3

Integrando em C e usando o Teorema Fundamental, os termos exatos dão
\int_C d\!\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\Bigr) = \Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{(2,0)}^{(0,0)} =0 - 2 = -2,
\int_C d\!\bigl(2xy\bigr) = \bigl[2xy\bigr]_{(2,0)}^{(0,0)} =0 - 0 =0,
\int_C \frac{1}{2}\,d\bigl(e^{\tan y}\bigr) =\frac12\bigl[e^{\tan y}\bigr]_{y=0}^{y=0} =\frac12(1-1)=0.
Logo
\int_C P\,dx+Q\,dy = -2 + \int_C 2x\,dy.

Passo 4

Restou calcular
\int_C 2x\,dy.

Passo 5

Parametrizamos C pelo ângulo \theta do semicírculo superior:
x=1+\cos\theta,\quad y=\sin\theta, \quad \theta\in[0,\pi].
Então
dy=\cos\theta\,d\theta, \quad 2x\,dy=2\bigl(1+\cos\theta\bigr)\cos\theta\,d\theta =2\cos\theta\,d\theta + 2\cos^2\theta\,d\theta.
Integramos de 0 a \pi:
\int_0^\pi 2\cos\theta\,d\theta =2\bigl[\sin\theta\bigr]_0^\pi=0,
\int_0^\pi 2\cos^2\theta\,d\theta =2\int_0^\pi \cos^2\theta\,d\theta =2\cdot\frac{\pi}{2} =\pi.
Portanto
\int_C 2x\,dy = 0 + \pi = \pi.

Passo 6

Somando tudo,
\int_C P\,dx+Q\,dy = -2 + \pi.

Resposta

\displaystyle -2 + \pi

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