Questão 4

Seja f a função definida por f(x)=\frac{x}{4-x} para todo x.
Calcular f^{(270)}(1).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x}{4-x}
e pede a 270ª composição de f aplicada em 1, ou seja f^{(270)}(1).
Para resolver, vamos calcular os primeiros valores, identificar um padrão para os denominadores e então resolver a recorrência resultante.

Passo 2

Calculemos os primeiros termos de f^n(1) e introduzamos uma sequência de denominadores a_n tal que
f^n(1)=\frac{1}{a_n}.
Para n=0 temos f^0(1)=1, logo a_0=1.
Para n=1:
f(1)=\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad a_1=3.
Para n=2:
f^2(1)=f\bigl(f(1)\bigr)=f\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr) =\frac{\tfrac13}{4-\tfrac13} =\frac{\tfrac13}{\tfrac{11}{3}} =\frac{1}{11}\quad\Longrightarrow\quad a_2=11.
Para n=3:
a_3=43.
Observamos então a relação
a_n=4\,a_{n-1}-1\quad(n\ge1).

Passo 3

Estamos diante de uma recorrência linear de primeira ordem
a_n=4\,a_{n-1}-1.
A solução geral é soma de uma parte homogênea e uma particular.
A parte homogênea satisfaz
a_n^{(h)}=4\,a_{n-1}^{(h)} \quad\Longrightarrow\quad a_n^{(h)}=C\cdot4^n.
Para uma solução particular constante A, substituímos na recorrência:
A=4A-1\quad\Longrightarrow\quad3A=1\quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac13.
Logo a solução geral é
a_n=C\cdot4^n+\tfrac13.

Passo 4

Usando a condição inicial a_0=1 na solução geral:
a_0=C\cdot4^0+\tfrac13=C+\tfrac13=1 \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac23.
Portanto
a_n=\frac{2}{3}\,4^n+\frac{1}{3} =\frac{2\cdot4^n+1}{3},
e consequentemente
f^n(1)=\frac{1}{a_n} =\frac{3}{2\cdot4^n+1}.

Passo 5

Bast aconcluir para n=270:
f^{(270)}(1)=\frac{3}{2\cdot4^{270}+1}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2\cdot4^{270}+1}

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