Questão 4
Seja
a função definida por
para todo
.
Calcular
.
Calcular
Passo 1
O enunciado define a função
e pede a 270ª composição de
aplicada em
, ou seja
.
Para resolver, vamos calcular os primeiros valores, identificar um padrão para os denominadores e então resolver a recorrência resultante.
Para resolver, vamos calcular os primeiros valores, identificar um padrão para os denominadores e então resolver a recorrência resultante.
Passo 2
Calculemos os primeiros termos de
e introduzamos uma sequência de denominadores
tal que
Para
temos
, logo
.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Observamos então a relação
Passo 3
Estamos diante de uma recorrência linear de primeira ordem
A solução geral é soma de uma parte homogênea e uma particular.
A parte homogênea satisfaz
A parte homogênea satisfaz
Para uma solução particular constante
, substituímos na recorrência:
Logo a solução geral é
Passo 4
Usando a condição inicial
na solução geral:
Portanto
e consequentemente
Passo 5
Bast aconcluir para
: