1. Seja \mathbf{F}(x, y)=\frac{-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}}{x^{2}+y^{2}}.
    (a) Mostre que \partial P / \partial y=\partial Q / \partial x.
    (b) Mostre que \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} não é independente do caminho. [Dica: Calcule \int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} e \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C_{1} e C_{2} são as metades superior e inferior do círculo x^{2}+y^{2}=1 de (1,0) a (-1,0).] Isto contradiz o Teorema 6?
  2. (a) Suponha que \mathbf{F} seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja,
\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{c \mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^{3}}
para alguma constante c, onde \mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}. Determine o trabalho realizado por \mathbf{F} ao mover um objeto de um ponto P_{1} por um caminho para um ponto P_{2} em termos da distância d_{1} e d_{2} desses pontos à origem.
(b) Um exemplo de um campo de quadrado inverso é o campo gravitacional \mathbf{F}=-(m M G) \mathbf{r} /|\mathbf{r}|^{3} discutido no Exemplo 4 na Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distância máxima de 1,52 \times 10^{8} \mathrm{~km} do Sol ) ao periélio (em uma distância mínima de 1,47 \times 10^{8} \mathrm{~km} ). (Use os valores m=5,97 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, M=1,99 \times 10^{30} \mathrm{~kg} \mathrm{e} G=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}.)
(b) Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico \mathbf{F}=\varepsilon q Q \mathbf{r} /|\mathbf{r}|^{3} discutido no Exemplo 5 da Seção 16.1. Suponha que um elétron com carga de -1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de 10^{-12} \mathrm{~m} do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo elétrico. (Use o valor \varepsilon=8,985 \times 10^{9}.)
EXEMPLO 5 \operatorname{Se} \mathbf{F}(x, y)=(-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}) /\left(x^{2}+y^{2}\right), mostre que \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=2 \pi para todo caminho fechado simples que circunde a origem.
SOLUÇÃO Como C é um caminho fechado arbitrário contendo a origem em seu interior, é difícil calcular a integral dada diretamente. Então, vamos considerar um círculo anti-horário orientado C^{\prime} com origem no centro e raio a, onde a é escolhido para ser pequeno o suficiente para que C^{\prime} esteja contido em C (ver Figura 11). Seja D a região limitada por C e C^{\prime}. Então a orientação positiva do limite é C \cup\left(-C^{\prime}\right) e, aplicando a versão geral do Teorema de Green, temos
\begin{aligned} \int_{C} P d x+Q d y+\int_{-C^{\prime}} P d x+Q d y & =\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d A \\\ & =\iint_{D}\left[\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}-\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right] d A=0 \end{aligned}
Logo,
\int_{C} P d x+Q d y=\int_{C^{\prime}} P d x+Q d y
isto é,
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{C^{\prime}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
Agora podemos calcular facilmente essa última integral usando a parametrização dada por \mathbf{r}(t)=a \cos t \mathbf{i}+a \operatorname{sen} t \mathbf{j}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi. Logo,
\begin{aligned} \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} & =\int_{C^{\prime}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{0}^{2 \pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) d t \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \frac{(-a \operatorname{sen} t)(-a \operatorname{sen} t)+(a \cos t)(a \cos t)}{a^{2} \cos ^{2} t+a^{2} \operatorname{sen}^{2} t} d t=\int_{0}^{2 \pi} d t=2 \pi \end{aligned}
Terminaremos esta seção utilizando o Teorema de Green para discutir um resultado enunciado na seção anterior.
ESBOÇO DA DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 16.3.6 Assumimos que \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j} é um campo vetorial em uma região simplesmente conexa D, que P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas e que
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \quad \text { em todo o } D
Se C é um caminho fechado simples qualquer em D e R é a região envolvida por C, o Teorema de Green nos dá
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\oint_{C} P d x+Q d y=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d A=\iint_{R} 0 d A=0
Uma curva que não seja simples se autointercepta em um ou mais pontos e pode ser dividida em diversas curvas fechadas simples. Mostramos que as integrais de linha de \mathbf{F} sobre essas curvas simples são todas 0 e , somando essas integrais, podemos ver que \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0 para qualquer curva fechada C. Portanto, \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} é independente do caminho em D pelo Teorema 16.3.3. Segue então que \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo.
FIGURA 11

16.4 Exercícios

1-4 Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
  1. \oint_{C}(x-y) d x+(x+y) d y,
    C é o círculo com centro na origem e raio 2
  2. \oint_{C} x y d x+x^{2} d y,
    C é o retângulo com vértices (0,0)(3,0),(3,1) e (0,1)
  3. \oint_{C} x y d x+x^{2} y^{3} d y,
    C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e (1,2)
  4. \quad \oint_{C} x^{2} y^{2} d x+x y d y, \quad C consiste no arco da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1) e os segmentos de reta de (1,1) a (0,1) e de (0,1) a (0,0)
    5-10 Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
  5. \int_{C} x y^{2} d x+2 x^{2} y d y,
    C é o triângulo com vértices (0,0),(2,2) e (2,4)
  6. \int_{C} \cos y d x+x^{2} \operatorname{sen} y d y,
    C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,2) e (0,2)
  7. \int_{C}\left(y+e^{\sqrt{x}}\right) d x+\left(2 x+\cos y^{2}\right) d y,
    C é o limite da região englobada pelas parábolas y=x^{2} e x=y^{2}
  8. \int_{C} x e^{-2 x} d x+\left(x^{4}+2 x^{2} y^{2}\right) d y, C é o limite da região entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4
  9. \int_{C} y^{3} d x-x^{3} d y, C é o círculo x^{2}+y^{2}=4
  10. \int_{C}\left(1-y^{3}\right) d x+\left(x^{3}+e^{y^{2}}\right) d y, C é o limite da região entre os círculos x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9
11-14 Use o teorema de Green para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
11. \mathbf{F}(x, y)=\langle y \cos x-x y \operatorname{sen} x, x y+x \cos x\rangle, C é o triângulo de (0,0) a (0,4) a (2,0) a (0,0)
12. \mathbf{F}(x, y)=\left\langle e^{-x}+y^{2}, e^{-y}+x^{2}\right\rangle,
C consiste no arco da curva y=\cos x de (-\pi / 2,0) a (\pi / 2,0) e o segmento de reta de (\pi / 2,0) a (-\pi / 2,0)
13. \mathbf{F}(x, y)=\langle y-\cos y, x \operatorname{sen} y\rangle,
C é o círculo (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4 orientado no sentido horário
14. \mathbf{F}(x, y)=\left\langle\sqrt{x^{2}+1}, \operatorname{tg}^{-1} x\right\rangle, C é o triângulo de (0,0) a (1,1) a (0,1) a (0,0)
15-16 Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
15. P(x, y)=y^{2} e^{x}, \quad Q(x, y)=x^{2} e^{y}, C consiste no segmento de reta de (-1,1) a (1,1) seguido pelo arco da parábola y=2-x^{2} de (1,1) a (-1,1)
16. P(x, y)=2 x-x^{3} y^{5}, \quad Q(x, y)=x^{3} y^{8}, C é a elipse 4 x^{2}+y^{2}=4
17. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força \mathbf{F}(x, y)=x(x+y) \mathbf{i}+x y^{2} \mathbf{j} ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para (1,0), em seguida ao longo de um segmento de reta até ( 0,1 ), e então de volta à origem ao longo do eixo y.
18. Uma partícula inicialmente no ponto (-2,0) se move ao longo do eixo x para (2,0), e então ao longo da semicircunferência y=\sqrt{4-x^{2}} até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força \mathbf{F}(x, y)=\left\langle x, x^{3}+3 x y^{2}\right\rangle.
19. Use uma das fórmulas em 5 para achar a área sob um arco da cicloide x=t-\operatorname{sen} t, y=1-\cos t.
20. Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do interior da circunferência x^{2}+y^{2}=16, um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas x=5 \cos t-\cos 5 t, y=5 \operatorname{sen} t-\operatorname{sen} 5 t. Faça o gráfico da epicicloide e use 5 para calcular a área da região que ela envolve.
21. (a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto \left(x_{1}, y_{1}\right) ao ponto \left(x_{2}, y_{2}\right), mostre que
\int_{C} x d y-y d x=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}
(b) Se os vértices de um polígono, em sentido anti-horário, são \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right) mostre que a área do polígono é
\begin{aligned} A=\frac{1}{2}[ & \left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)+\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}\right)+\cdots \\\ & \left.+\left(x_{n-1} y_{n}-x_{n} y_{n-1}\right)+\left(x_{n} y_{1}-x_{1} y_{n}\right)\right] \end{aligned}
(c) Encontre a área do pentágono com vértices (0,0),(2,1),(1, 3),(0,2) e (-1,1).
22. Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no plano x y. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide (\bar{x}, \bar{y}) de D são
\bar{x}=\frac{1}{2 A} \oint_{C} x^{2} d y \quad \bar{y}=-\frac{1}{2 A} \oint_{C} y^{2} d x
onde A é a área de D.
23. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide de um quarto de uma região circular de raio a.
24. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região triangular de vértices (0,0),(a, 0) e (a, b), onde a>0 e b>0.
25. Uma lâmina plana com densidade constante \rho(x, y)=\rho ocupa uma região do plano x y limitada por um caminho fechado simples C. Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são
I_{x}=-\frac{\rho}{3} \oint_{C} y^{3} d x \quad I_{y}=\frac{\rho}{3} \oint_{C} x^{3} d y
  1. Utilize o Exercício 25 para achar o momento de inércia de um círculo de raio a com densidade constante \rho em relação a um diâmetro. (Compare com o Exemplo 4 da Seção 15.5.)
  2. Use o método do Exercício 5 para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde
\mathbf{F}(x, y)=\frac{2 x y \mathbf{i}+\left(y^{2}-x^{2}\right) \mathbf{j}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
e C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem.
28. Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x, y)=\left\langle x^{2}+y, 3 x-y^{2}\right\rangle e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6 .
29. Se \mathbf{F} é o campo vetorial do Exemplo 5, mostre que \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0 para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde.
30. Complete a demonstração do Teorema de Green demonstrando a Equação 3.
31. Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.10.9) para o caso onde f(x, y)=1 :
\iint_{R} d x d y=\iint_{S}\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| d u d v
Aqui, R é a região do plano x y que corresponde à região S no plano u v sob a transformação dada por x=g(u, v), y=h(u, v).
[Dica: Observe que o lado esquerdo é A(R) e aplique a primeira parte da Equação 5. Converta a integral de linha sobre \partial R para uma integral sobre \partial S e aplique o Teorema de Green no plano u v.]
Portanto,
(\operatorname{rot} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}=\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \cdot \mathbf{k}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
e podemos reescrever a equação do Teorema de Green na forma vetorial
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\iint_{D}(\operatorname{rot} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k} d A
A Equação 12 expressa a integral de linha da componente tangencial de \mathbf{F} ao longo de C como uma integral dupla da componente vertical rotacional \mathbf{F} sobre a região D delimitada por C. Vamos deduzir, agora, uma fórmula semelhante, envolvendo a componente normal de \mathbf{F}.
Se C é dada pela equação vetorial
\mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j} \quad a \leqslant t \leqslant b
então o vetor tangente unitário (veja a Seção 13.2) é
\mathbf{T}(t)=\frac{x^{\prime}(t)}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|} \mathbf{i}+\frac{y^{\prime}(t)}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|} \mathbf{j}
Você pode verificar que o vetor normal unitário externo a C é dado por
\mathbf{n}(t)=\frac{y^{\prime}(t)}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|} \mathbf{i}-\frac{x^{\prime}(t)}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|} \mathbf{j}
(Veja a Figura 2). Então, da Equação 16.2.3, temos
\begin{aligned} \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d s & =\int_{a}^{b}(\mathbf{F} \cdot \mathbf{n})(t)\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| d t \\\ & =\int_{a}^{b}\left[\frac{P(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|}-\frac{Q(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|}\right]\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| d t \\\ & =\int_{a}^{b} P(x(t), y(t)) y^{\prime}(t) d t-Q(x(t), y(t)) x^{\prime}(t) d t \\\ & =\int_{C} P d y-Q d x=\iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d A \end{aligned}
FIGURA 2
pelo Teorema de Green. Mas o integrando na integral dupla é o divergente de \mathbf{F}. Logo, temos uma segunda forma vetorial do Teorema de Green:
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d s=\iint_{D} \operatorname{div} \mathbf{F}(x, y) d A
Essa versão diz que a integral de linha da componente normal de \mathbf{F} ao longo de C é igual à integral dupla do divergente de \mathbf{F} na região D delimitada por C.

16.5 Exercícios

1-8 Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
  1. \mathbf{F}(x, y, z)=x y z \mathbf{i}-x^{2} y \mathbf{k}
  2. \quad \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} y z \mathbf{i}+x y^{2} z \mathbf{j}+x y z^{2} \mathbf{k}
  3. \mathbf{F}(x, y, z)=x y e^{z} \mathbf{i}+\mathrm{yz} e^{x} \mathbf{k}
  4. \quad \mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y z \mathbf{i}+\operatorname{sen} z x \mathbf{j}+\operatorname{sen} x y \mathbf{k}
  5. \quad \mathbf{F}(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k})
  6. \quad \mathbf{F}(x, y, z)=e^{x y} \operatorname{sen} z \mathbf{j}+y \operatorname{tg}^{-1}(x / z) \mathbf{k}
  7. \mathbf{F}(x, y, z)=\left\langle e^{x} \operatorname{sen} y, e^{y} \operatorname{sen} \mathrm{z}, e^{z} \operatorname{sen} \mathrm{x}\right\rangle
  8. \quad \mathbf{F}(x, y, z)=\left\langle\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x}\right\rangle
9-11 O campo vetorial \mathbf{F} é mostrado no plano x y e é o mesmo em todos os planos horizontais (em outras palavras, \mathbf{F} é independente de z e sua componente z é 0 ).
(a) O div \mathbf{F} será positivo, negativo ou nulo? Explique.
(b) Determine se \operatorname{rot} \mathbf{F}=\mathbf{0}. Se não, em que direção \operatorname{rot} \mathbf{F} aponta?
9.

10.

11.

12. Seja f um campo escalar e \mathbf{F} um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
(a) \operatorname{rot} f
(b) \operatorname{grad} f
(c) \operatorname{div} \mathbf{F}
(d) \operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)
(e) \operatorname{grad} \mathbf{F}
(f) \operatorname{grad}(\operatorname{div} \mathbf{F})
(g) \operatorname{div}(\operatorname{grad} f)
(h) \operatorname{grad}(\operatorname{div} f)
(i) \operatorname{rot}(\operatorname{rot} \mathbf{F})
(j) \operatorname{div}(\operatorname{div} \mathbf{F})
(k) (\operatorname{grad} f) \times(\operatorname{div} \mathbf{F})
(l) \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f))
13-18 Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
13. \mathbf{F}(x, y, z)=y^{2} z^{3} \mathbf{i}+2 x y z^{3} \mathbf{j}+3 x y^{2} z^{2} \mathbf{k}
14. \mathbf{F}(x, y, z)=x y z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}
15. \mathbf{F}(x, y, z)=3 x y^{2} z^{2} \mathbf{i}+2 x^{2} y z^{3} \mathbf{j}+3 x^{2} y^{2} z^{2} \mathbf{k}
16. \mathbf{F}(x, y, z)=\mathbf{i}+\operatorname{sen} z \mathbf{j}+y \cos z \mathbf{k}
17. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{y z} \mathbf{i}+x z e^{y z} \mathbf{j}+x y e^{y z} \mathbf{k}
18. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{x} \operatorname{sen} y z \mathbf{i}+z e^{x} \cos y z \mathbf{j}+y e^{x} \cos y z \mathbf{k}
19. Existe um campo vetorial \mathbf{G} em \mathbb{R}^{3} tal que \operatorname{rot} \mathbf{G}=\langle x \operatorname{sen} y, \cos y, z-x y\rangle ? Explique.
20. Existe um campo vetorial \mathbf{G} em \mathbb{R}^{3} tal que rot \mathbf{G}=\left\langle x y z,-y^{2} z, y z^{2}\right\rangle ? Explique.
21. Mostre que qualquer campo vetorial da forma
\mathbf{F}(x, y, z)=f(x) \mathbf{i}+g(y) \mathbf{j}+h(z) \mathbf{k} onde f, g e h são diferenciáveis, é irrotacional.
  1. Mostre que qualquer campo vetorial da forma
\mathbf{F}(x, y, z)=f(y, z) \mathbf{i}+g(x, z) \mathbf{j}+h(x, y) \mathbf{k}
é incompressível.
23-29 Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e \mathbf{F}, \mathbf{G} forem campos vetoriais, então f \mathbf{F}, \mathbf{F} \cdot \mathbf{G} e \mathbf{F} \times \mathbf{G} serão definidos por
\begin{aligned} (f \mathbf{F})(x, y, z) & =f(x, y, z) \mathbf{F}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{G}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \times \mathbf{G}(x, y, z) \end{aligned}
23 \operatorname{div}(\mathbf{F}+\mathbf{G})=\operatorname{div} \mathbf{F}+\operatorname{div} \mathbf{G}
24. \operatorname{rot}(\mathbf{F}+\mathbf{G})=\operatorname{rot} \mathbf{F}+\operatorname{rot} \mathbf{G}
25. \operatorname{div}(f \mathbf{F})=f \operatorname{div} \mathbf{F}+\mathbf{F} \cdot \nabla f
26. \operatorname{rot}(f \mathbf{F})=f \operatorname{rot} \mathbf{F}+(\nabla f) \times \mathbf{F}
27. \operatorname{div}(\mathbf{F} \times \mathbf{G})=\mathbf{G} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{F}-\mathbf{F} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{G}
28. \operatorname{div}(\nabla f \times \nabla g)=0
29. \operatorname{rot}(\operatorname{rot} \mathbf{F})=\operatorname{grad}(\operatorname{div} \mathbf{F})-\nabla^{2} \mathbf{F}
30-32 Sejam \mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} e r=|\mathbf{r}|.
30. Verifique as identidades.
(a) \nabla \cdot \mathbf{r}=3
(b) \nabla \cdot(r \mathbf{r})=4 r
(c) \nabla^{2} r^{3}=12 r
31. Verifique as identidades.
(a) \nabla r=\mathbf{r} / r
(b) \nabla \times \mathbf{r}=\mathbf{0}
(c) \nabla(1 / r)=-\mathbf{r} / r^{3}
(d) \nabla \ln r=\mathbf{r} / r^{2}
32. Se \mathbf{F}=\mathbf{r} / r^{p}, determine \operatorname{div} \mathbf{F}. Existe um valor de p para que \operatorname{div} \mathbf{F}=0 ?
33. Use o Teorema de Green na forma da Equação 13 para demonstrar a primeira identidade de Green:
\iint_{D} f \nabla^{2} g d A=\oint_{C} f(\nabla g) \cdot \mathbf{n} d s-\iint_{D} \nabla f \cdot \nabla g d A
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e g existem e são contínuas. (A quantidade \nabla g \cdot \mathbf{n}=D_{\mathbf{n}} g aparece na integral de linha. Essa é a derivada direcional na direção do vetor normal \mathbf{n} e é chamada derivada normal de g.)
34. Use a primeira identidade de Green (Exercício 33) para demonstrar a segunda identidade de Green:
\iint_{D}\left(f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f\right) d A=\oint_{C}(f \nabla g-g \nabla f) \cdot \mathbf{n} d s
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e g existem e são contínuas.
35. Lembre-se, da Seção 14.3, de que uma função g é chamada harmônica em D se satisfaz a equação de Laplace, isto é, \nabla^{2} g=0 em D. Utilize primeira identidade de Green (com as mesmas hipóteses que no Exercício 33) para mostrar que se g é harmônica em D, então \oint_{C} D_{\mathbf{n}} g d s=0. Aqui, D_{\mathbf{n}} g é a derivada normal de g definida no Exercício 33.
36. Use a primeira identidade de Green para mostrar que se f for harmônica em D, e se f(x, y)=0 na curva limite C, então \iint_{D}|\nabla f|^{2} d A=0. (Suponha que são válidas as mesmas hipóteses que no Exercício 33.)
37. Este exercício ilustra a relação entre vetor rotacional e rotações. Seja B ser um corpo rígido girando sobre o eixo z. A rotação
pode ser descrita pelo vetor \mathbf{w}=\omega \mathbf{k}, onde \omega é a velocidade angular de B, ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto P em B dividida pela distância d do eixo de rotação. Seja \mathbf{r}=\langle x, y, z\rangle o vetor posição de P.
(a) Considerando o ângulo \theta da figura, mostre que o campo de velocidade de B é dado por \mathbf{v}=\mathbf{w} \times \mathbf{r}.
(b) Mostre que \mathbf{v}=-\omega y \mathbf{i}+\omega x \mathbf{j}.
(c) Mostre que \operatorname{rot} \mathbf{v}=2 \mathbf{w}.

38. As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético \mathbf{H}, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
\operatorname{div} \mathbf{E}=0 \quad \operatorname{div} \mathbf{H}=0
\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} \quad \operatorname{rot} \mathbf{H}=\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
(a) \nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}
(b) \nabla \times(\nabla \times \mathbf{H})=-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{H}}{\partial t^{2}}
(c) \nabla^{2} \mathbf{E}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}} \quad [Sugestão: Use o Exercício 29.]
(d) \nabla^{2} \mathbf{H}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{H}}{\partial t^{2}}
39. Vimos que todos os campos vetoriais da forma \mathbf{F}=\nabla g satisfazem a equação rot \mathbf{F}=\mathbf{0} e que todos os campos vetoriais da forma \mathbf{F}=\operatorname{rot} \mathbf{G} satisfazem a equação \operatorname{div} \mathbf{F}=0 (supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isto sugere a pergunta: existe alguma equação que todas as funções da forma f=\operatorname{div} \mathbf{G} devam satisfazer? Mostre que a resposta para essa pergunta é “Não” demonstrando que toda função contínua f em \mathbb{R}^{3} é a divergência de algum campo de vetores. [Dica: Seja \mathbf{G}(x, y, z)=\langle g(x, y, z), 0,0\rangle, onde g(x, y, z)=\int_{0}^{x} f(t, y, z) d t.]

16.6 Superfícies Parametrizadas e suas Áreas

Até agora temos considerado tipos especiais de superfícies: cilindros, superfícies quádricas, gráficos de funções de duas variáveis e superfícies de nível de funções de três variáveis. Aqui, usaremos funções vetoriais para descrever superfícies mais gerais, chamadas superfícies parametrizadas e calcularemos suas áreas. A seguir, tomaremos a fórmula para a área de superfícies gerais e veremos como se aplica a superfícies especiais.

Superfícies Parametrizadas

De modo muito semelhante à nossa descrição de curvas espaciais por uma função vetorial \mathbf{r}(t) de um único parâmetro t, podemos descrever uma superfície por uma função vetorial \mathbf{r}(u, v) de dois parâmetros u e v. Suponhamos que
\mathbf{r}(u, v)=x(u, v) \mathbf{i}+y(u, v) \mathbf{j}+z(u, v) \mathbf{k}
seja uma função a valores vetoriais definida sobre uma região D do plano u v. Então x, y e z, os componentes de funções de \mathbf{r}, serão funções das duas variáveis u e v com domínio D. O conjunto de todos os pontos (x, y, z) em \mathbb{R}^{3} tal que
x=x(u, v) \quad y=y(u, v) \quad z=z(u, v)
e ( u, v ) varia ao longo de D, é chamado de superfície parametrizada S e Equações 2 são chamados equações parametrizadas de S. Cada escolha de u e v resulta um ponto em S; fazendo todas as escolhas, temos todos os pontos de S. Em outras palavras, a superfície é
35. (a)

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} \quad\text{com}\quad P(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \;Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2},
e pede:
(a) mostrar que \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x,
(b) calcular \displaystyle\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} e \displaystyle\int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde C_1 e C_2 são as metades superior e inferior do círculo x^2+y^2=1 de (1,0) a (-1,0), e concluir que a integral não é independente do caminho (e explicar por que não há contradição com o Teorema 6).

Passo 2

Calcular \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}.
Usando a regra do quociente,
P(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} \;\Longrightarrow\; \frac{\partial P}{\partial y} =-\frac{(1)(x^2+y^2)-y(2y)}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}.
De modo análogo,
Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} \;\Longrightarrow\; \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{(1)(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.

Passo 4

Parametrização de C_{1}: semicircunferência superior de (1,0) a (-1,0).
Escolhemos
\mathbf{r}(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle,\quad 0\le t\le\pi,
então \mathbf{r}'(t)=\langle -\sin t,\cos t\rangle.
Em cada ponto x^2+y^2=1,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\frac{\langle -\sin t,\cos t\rangle}{1} =\langle -\sin t,\cos t\rangle,
logo o produto interno é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t) =\sin^2t+\cos^2t=1.
Portanto
\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{\pi}1\,dt =\pi.

Passo 5

Parametrização de C_{2}: semicircunferência inferior de (1,0) a (-1,0).
Podemos usar
\mathbf{r}(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle,\quad 0\ge t\ge -\pi,
que vai de t=0 em (1,0) até t=-\pi em (-1,0).
Repetindo o cálculo, \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=1, então
\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{-\,\pi}1\,dt =-\pi.

Passo 6

Como \displaystyle\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\pi e \displaystyle\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\pi,
a integral de linha depende do caminho.
Isso não contradiz o Teorema 6, pois esse teorema exige que o campo seja definido e com derivadas contínuas numa região simplesmente conexa. Aqui \mathbf{F} não está definido na origem e o domínio \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} não é simplesmente conexo.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} =-\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.
(b) \displaystyle\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\pi,\quad \int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\pi, logo o trabalho não é independente do caminho. Isso não contradiz o Teorema 6 porque o campo não é definido num domínio simplesmente conexo.

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