Determine mathcal{L}^{-1}{F}
F(s)=\frac{7 s^{2}+23 s+30}{(s-2)\left(s^{2}+2 s+5\right)}

Passo 1

O enunciado pede encontrar a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\{F\} onde
F(s)=\frac{7 s^{2}+23 s+30}{(s-2)\left(s^{2}+2 s+5\right)}.
Ou seja: encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f\}(s)=F(s). As informações relevantes fornecidas são exatamente o numerador 7 s^{2}+23 s+30 e o denominador (s-2)(s^{2}+2s+5). A pergunta é única: determinar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Como F(s) é uma razão de polinômios onde o denominador fatorou em dois fatores distintos (um linear e um quadrático irreducível real), vamos decompor F(s) em frações parciais no formato
\frac{A}{s-2}+\frac{Bs+C}{s^{2}+2s+5},
com constantes A,B,C a determinar. Essa decomposição é permitida porque o grau do numerador é menor que o do denominador (fração própria).

Passo 3

Escrevendo a identidade entre numeradores:
7s^{2}+23s+30 = A(s^{2}+2s+5) + (Bs+C)(s-2).

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos em potências de s:
A s^{2} + 2A s + 5A + B s^{2} - 2B s + C s - 2C.
Agrupando:
(A+B)s^{2} + (2A-2B+C)s + (5A-2C).
Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A + B = 7,\\[4pt] 2A - 2B + C = 23,\\[4pt] 5A - 2C = 30. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação B=7-A.
Substituindo na segunda: 2A -2(7-A) + C = 23 que dá 2A -14 +2A + C =23, isto é 4A + C =37. Logo C = 37-4A.
Substituindo C na terceira equação: 5A - 2(37-4A)=30. Isso dá 5A -74 +8A =30, ou 13A=104. Portanto
A=8.
Com A=8 segue B=7-A= -1 e C=37-4A = 37-32 = 5.

Passo 6

A decomposição em frações parciais fica então
F(s)=\frac{8}{s-2}+\frac{-s+5}{s^{2}+2s+5}.

Passo 7

Para inverter a segunda fração é conveniente completar o quadrado no denominador:
s^{2}+2s+5 = (s+1)^{2}+4.
Reescrever o numerador -s+5 em termos de (s+1):
-s+5 = -(s+1) + 6.
Portanto
\frac{-s+5}{s^{2}+2s+5} = \frac{-(s+1)}{(s+1)^{2}+4} + \frac{6}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 8

Lembrete (fórmulas básicas de transformadas inversas que usaremos):
  • Para deslocamento exponencial: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\} = e^{at}.
  • Para termos com quadrado completado: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{at}\cos(bt).
  • Para a parte senoidal: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{at}\sin(bt).
    Nessas fórmulas, a é o deslocamento no eixo s (ou seja, a exponencial e^{at} aparece), b é a frequência angular da seno/cosseno, e t é a variável do domínio temporal. Sempre que o numerador não estiver exatamente na forma necessária, reescreve-se como combinação livre de (s-a) e uma constante, como fizemos.

Passo 9

Aplicando as fórmulas termo a termo:
  • O primeiro termo \dfrac{8}{s-2} corresponde a 8e^{2t}.
  • O termo -\dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+4} corresponde a -e^{-t}\cos(2t) pois aqui a=-1 e b=2.
  • O termo \dfrac{6}{(s+1)^{2}+4} precisa ser escrito como \dfrac{6}{(s+1)^{2}+2^{2}} = 3\cdot \dfrac{2}{(s+1)^{2}+2^{2}}, portanto sua inversa é 3 e^{-t}\sin(2t).
    Somando os três contribuintes obtemos a transformada inversa
f(t)=8 e^{2t} - e^{-t}\cos(2t) + 3 e^{-t}\sin(2t),
definida para t\ge 0.

Resposta

f(t)=8 e^{2t} - e^{-t}\cos(2t) + 3 e^{-t}\sin(2t)

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