Uma parede de alvenaria tem
de espessura. sabendo que a temperatura na face interna é de 20 C e na externa 0 C , que
, achar a temperatura no interior da parede, em função da distância à face externa, e a perda de calor por dia e por metro quadrado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Espessura da parede:
. - Temperatura na face interna:
. - Temperatura na face externa:
. - Condutividade térmica:
(unidades não especificadas no enunciado).
- Espessura da parede:
-
Perguntas:
- Achar a temperatura no interior da parede em função da distância à face externa (ou seja,
com medido a partir da face externa). - Calcular a perda de calor por dia por metro quadrado (energia perdida por dia por
da parede).
- Achar a temperatura no interior da parede em função da distância à face externa (ou seja,
Passo 2
Observação importante sobre unidades de
(temos que escolher uma interpretação para prosseguir).
- O enunciado não informou unidades para
. A interpretação comum, coerente com valores realistas de materiais de alvenaria, é que está em . Assim tomamos - Para referência em unidades SI (metros) isso equivale a
- Vou usar as duas formas quando for conveniente (cm para
em cm e m para resultados por metro quadrado). Se as unidades de no seu curso forem diferentes, diga depois e a gente ajusta — mas este é o caso mais provável.
Passo 3
Princípio físico e equação a usar (aula rápida e direta).
- Em regime estacionário (temperaturas constantes no tempo) e condução unidimensional sem geração interna de calor, a equação de condução é
- Se
é constante em toda a parede, isso simplifica para - A solução geral dessa equação é uma função linear:
onde e são constantes determinadas pelas condições de contorno (temperaturas nas faces). - Interpretação física: quando não há geração interna e as propriedades são constantes, a temperatura varia linearmente com a distância — pense nisso como a “reta” ligando
e .
Passo 4
Definir o referencial e aplicar as condições de contorno para obter
.
- Defino a coordenada
medida a partir da face externa para dentro da parede: na face externa e na face interna, com . - Condições de contorno:
- Começando da forma linear
, aplico e obtenho . - Aplicando
com tenho - Portanto a expressão da temperatura em função de
(com em cm) é (isto satisfaz e ).\n - Se preferir
em metros ( ), escrevendo a mesma reta:
Passo 5
Calcular o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) usando a Lei de Fourier.
- A lei de Fourier (1D) diz:
onde -
é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: se em ), -
é a condutividade térmica, -
é o gradiente de temperatura (temperatura por unidade de comprimento).
-
- Da expressão
(com em cm) temos - Substituindo
obtemos O sinal negativo indica que o calor vai do interior (mais quente) para o exterior (mais frio), ou seja, fluxo dirigido para decrescente (para fora). - O valor absoluto do fluxo é
- Converter para unidades por metro quadrado (mais usuais):
, então multiplicar por : Isso significa que, em regime estacionário, cada metro quadrado da parede perde de potência térmica.
Passo 6
Calcular a perda de calor por dia por metro quadrado (energia por dia por
).
- Potência por área:
. - Energia em
dia: com (segundos em um dia). Assim - Converter para quilojoules e para kilowatt-hora (úteis em energia):
(porque , então ).
Passo 7
Resumo das hipóteses feitas e interpretação final (rápida motivação para a prova).
- Hipóteses usadas: regime estacionário, condução unidimensional, condutividade constante, temperaturas de face dadas (sem resistência de contato ou convecção adicional nas faces). Essas hipóteses são as típicas em exercícios básicos de condução.
- O perfil de temperatura é linear por consequência direta de
. O fluxo de calor é uniforme através da espessura e dado por Fourier. - A resposta numérica mostra que a perda é moderada (
), e por dia cada metro quadrado perde cerca de sob essas condições.