Uma parede de alvenaria tem 30 c m de espessura. sabendo que a temperatura na face interna é de 20 C e na externa 0 C , que k=0,0012, achar a temperatura no interior da parede, em função da distância à face externa, e a perda de calor por dia e por metro quadrado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Espessura da parede: \;L=30\\ \mathrm{cm}.
    • Temperatura na face interna: \;T_{\text{int}}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura na face externa: \;T_{\text{ext}}=0^\circ\mathrm{C}.
    • Condutividade térmica: \;k=0{,}0012 (unidades não especificadas no enunciado).
  • Perguntas:
    1. Achar a temperatura no interior da parede em função da distância à face externa (ou seja, T(x) com x medido a partir da face externa).
    2. Calcular a perda de calor por dia por metro quadrado (energia perdida por dia por 1\\ \mathrm{m}^2 da parede).

Passo 2

Observação importante sobre unidades de k (temos que escolher uma interpretação para prosseguir).
  • O enunciado não informou unidades para k. A interpretação comum, coerente com valores realistas de materiais de alvenaria, é que k está em \mathrm{W/(cm\cdot^\circ C)}. Assim tomamos k = 0{,}0012\\ \mathrm{W/(cm\cdot^\circ C)}.
  • Para referência em unidades SI (metros) isso equivale a k = 0{,}0012\\ \mathrm{W/(cm\cdot^\circ C)} = 0{,}0012\times 100\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} = 0{,}12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Vou usar as duas formas quando for conveniente (cm para x em cm e m para resultados por metro quadrado). Se as unidades de k no seu curso forem diferentes, diga depois e a gente ajusta — mas este é o caso mais provável.

Passo 3

Princípio físico e equação a usar (aula rápida e direta).
  • Em regime estacionário (temperaturas constantes no tempo) e condução unidimensional sem geração interna de calor, a equação de condução é \frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)=0.
  • Se k é constante em toda a parede, isso simplifica para \frac{d^2T}{dx^2}=0.
  • A solução geral dessa equação é uma função linear: T(x)=Ax+B,onde A e B são constantes determinadas pelas condições de contorno (temperaturas nas faces).
  • Interpretação física: quando não há geração interna e as propriedades são constantes, a temperatura varia linearmente com a distância — pense nisso como a “reta” ligando T_{\text{ext}} e T_{\text{int}}.

Passo 4

Definir o referencial e aplicar as condições de contorno para obter T(x).
  • Defino a coordenada \;x medida a partir da face externa para dentro da parede: \;x=0 na face externa e \;x=L na face interna, com \;L=30\\ \mathrm{cm}.
  • Condições de contorno: T(0)=T_{\text{ext}}=0^\circ\mathrm{C},\qquad T(L)=T_{\text{int}}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Começando da forma linear T(x)=Ax+B, aplico T(0)=0^\circ\mathrm{C} e obtenho B=0.
  • Aplicando T(L)=20^\circ\mathrm{C} com L=30\\ \mathrm{cm} tenho A=\frac{T(L)-T(0)}{L}=\frac{20^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}}{30\\ \mathrm{cm}}=\frac{20}{30}\\ \frac{{}^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{cm}}=\frac{2}{3}\\ \frac{{}^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{cm}}.
  • Portanto a expressão da temperatura em função de x (com x em cm) é \boxed{\,T(x)=\frac{2}{3}\,x\quad({}^\circ\mathrm{C}),\quad 0\le x\le 30\\ \mathrm{cm}\,}(isto satisfaz T(0)=0^\circ\mathrm{C} e T(30)=\tfrac{2}{3}\cdot 30=20^\circ\mathrm{C}).\n
  • Se preferir x em metros ( L=0{,}30\\ \mathrm{m}), escrevendo a mesma reta: T(x)=\frac{20}{0{,}30}\,x \;=\; \frac{200}{3}\,x \approx 66{,}666\;x\quad({}^\circ\mathrm{C}),\quad x\\ \text{em metros.}

Passo 5

Calcular o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) usando a Lei de Fourier.
  • A lei de Fourier (1D) diz: q_x = -k\,\frac{dT}{dx},onde
    • q_x é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: \mathrm{W/cm^2} se k em \mathrm{W/(cm\cdot^\circ C)}),
    • k é a condutividade térmica,
    • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura (temperatura por unidade de comprimento).
  • Da expressão T(x)=\tfrac{2}{3}x (com x em cm) temos \frac{dT}{dx}=\frac{2}{3}\\ \frac{{}^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{cm}}.
  • Substituindo k=0{,}0012\\ \mathrm{W/(cm\cdot^\circ C)} obtemos q_x = -0{,}0012\cdot\frac{2}{3} = -0{,}0008\\ \mathrm{W/cm^2}.O sinal negativo indica que o calor vai do interior (mais quente) para o exterior (mais frio), ou seja, fluxo dirigido para x decrescente (para fora).
  • O valor absoluto do fluxo é |q_x|=0{,}0008\\ \mathrm{W/cm^2}.
  • Converter para unidades por metro quadrado (mais usuais): 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}, então multiplicar por 10^4: |q| = 0{,}0008\\ \mathrm{W/cm^2}\times 10^{4} = 8\\ \mathrm{W/m^2}.Isso significa que, em regime estacionário, cada metro quadrado da parede perde 8\\ \mathrm{W} de potência térmica.

Passo 6

Calcular a perda de calor por dia por metro quadrado (energia por dia por 1\\ \mathrm{m}^2).
  • Potência por área: P/A = 8\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Energia em 1 dia: E = (P/A)\times t com t=86400\\ \mathrm{s} (segundos em um dia). Assim E = 8\\ \mathrm{W/m^2}\times 86400\\ \mathrm{s} = 691200\\ \mathrm{J/m^2}.
  • Converter para quilojoules e para kilowatt-hora (úteis em energia): E = 691{,}200\\ \mathrm{J/m^2} = 691{,}2\\ \mathrm{kJ/m^2}\approx 0{,}192\\ \mathrm{kWh/m^2}.(porque 1\\ \mathrm{kWh}=3{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{J}, então 691200/3{,}6\times10^6\approx0{,}192).

Passo 7

Resumo das hipóteses feitas e interpretação final (rápida motivação para a prova).
  • Hipóteses usadas: regime estacionário, condução unidimensional, condutividade constante, temperaturas de face dadas (sem resistência de contato ou convecção adicional nas faces). Essas hipóteses são as típicas em exercícios básicos de condução.
  • O perfil de temperatura é linear por consequência direta de d^2T/dx^2=0. O fluxo de calor é uniforme através da espessura e dado por Fourier.
  • A resposta numérica mostra que a perda é moderada ( 8\\ \mathrm{W/m^2}), e por dia cada metro quadrado perde cerca de 0{,}192\\ \mathrm{kWh} sob essas condições.

Resposta

T(x)=\dfrac{2}{3}\,x\quad({}^\circ\mathrm{C}),\\ \text{com }x\\ \text{em cm (}0\le x\le 30\text{)}.
\displaystyle \text{Perda de calor por dia por m}^2 = 691200\\ \mathrm{J/m^2} = 691{,}2\\ \mathrm{kJ/m^2}\approx 0{,}192\\ \mathrm{kWh/m^2}.

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