Determine \mathcal{L}\{f(t)\}, sendo f(t) uma função periódica de período T=2 \mathrm{e} definida no intervalo 0<t \leq 2 por:
f(t)=\left\{\begin{array}{l} t, 0 \leq t<1 \\\\ 1,1 \leq t<2 \end{array}, \quad R: \frac{1-e^{-s}-s e^{-2 s}}{s^{2}\left(1-e^{-2 s}\right)}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função f(t) periódica de período T=2, definida em cada período por
f(t)= \begin{cases} t, &0\le t<1,\\\\ 1, &1\le t<2. \end{cases}
O conteúdo central é a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 2

Aplicamos a fórmula com T=2:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{1-e^{-2s}}\biggl(\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt+\int_{1}^{2}1\cdot e^{-st}\,dt\biggr).

Passo 3

Calculemos cada integral separadamente.
  1. Integral de t\,e^{-st} de 0 a 1, por partes u=t, dv=e^{-st}dt:
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =-\frac{t}{s}e^{-st}\Big|_{0}^{1} +\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}dt =-\frac{e^{-s}}{s} +\frac{1}{s}\cdot\frac{1-e^{-s}}{s} =\frac{1-e^{-s}-s\,e^{-s}}{s^{2}}.
  1. Integral de e^{-st} de 1 a 2:
\int_{1}^{2}e^{-st}\,dt =\bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\bigr]_{1}^{2} =\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s}.
Somando-as sobre o mesmo denominador s^{2}:
\int_{0}^{2}e^{-st}f(t)\,dt =\frac{1-e^{-s}-s\,e^{-s}}{s^{2}} +\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s} =\frac{1-e^{-s}-s\,e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 4

Substituindo esse resultado na fórmula periódica, obtemos
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{1-e^{-2s}}\, \frac{1-e^{-s}-s\,e^{-2s}}{s^{2}} =\frac{1-e^{-s}-s\,e^{-2s}}{s^{2}\bigl(1-e^{-2s}\bigr)}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1-e^{-s}-s\,e^{-2s}}{s^{2}\bigl(1-e^{-2s}\bigr)}.

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