Determine \mathcal{L}\{f(t)\}, sendo f(t) uma função periódica de período T=2 e definida no intervalo 0<t \leq 2 por:
f(t)=\left\{\begin{array}{c} 1,0<t \leq 1 \\\\ -1,1<t \leq 2 \end{array}\right.
Solução:
A Transformada de Laplace de uma função periódica de período T é dada por:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{1-e^{-s T}} \int_{0}^{T} e^{-s t} f(t) d t
Então para a função considerada neste exercício temos:
\begin{gathered} \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{1-e^{-2 s}} \int_{0}^{2} e^{-s t} f(t) d t=\frac{1}{1-e^{-2 s}}\left[\int_{0}^{1} e^{-s t} d t+\int_{1}^{2}-e^{-s t} d t\right]= \\\ =\frac{1}{1-e^{-2 s}}\left[-\frac{1}{s} \int_{0}^{1} e^{-s t} \cdot(-s) d t+\frac{1}{s} \int_{1}^{2}-e^{-s t} \cdot s d t\right]= \\\ =\frac{1}{1-e^{-2 s}}\left[-\left.\frac{1}{s} e^{-s t}\right|_{0} ^{1}+\left.\frac{1}{s} e^{-s t}\right|_{1} ^{2}\right]= \\\ =\frac{1}{1-e^{-2 s}}\left[-\frac{1}{s} e^{-s}+\frac{1}{s}+\frac{1}{s} e^{-2 s}-\frac{1}{s} e^{-s}\right]=\frac{1-2 e^{-s}+e^{-2 s}}{s\left(1-e^{-2 s}\right)}= \\\ =\frac{\left(1-e^{-s}\right)^{2}}{s\left(1-e^{-s}\right)\left(1+e^{-s}\right)}=\frac{1-e^{-s}}{s\left(1+e^{-s}\right)} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período T=2\) definida por \[f(t)= \begin{cases} 1, & 0<t\le1,\\\\ -1,&1<t\le2, \end{cases}
que se repete a cada intervalo de comprimento 2. Precisamos encontrar (\mathcal{L}{f(t)}] usando a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.

Passo 2

A fórmula para a transformada de Laplace de uma função periódica de período T é
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui T=2, logo
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{1-e^{-2s}}\int_{0}^{2}e^{-st}f(t)\,dt
e basta calcular a integral dividindo em 0<t\le1 e 1<t\le2.

Passo 3

Calculando separadamente as duas contribuições:
I_1=\int_{0}^{1}e^{-st}\cdot1\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1-e^{-s}}{s},
I_2=\int_{1}^{2}e^{-st}\cdot(-1)\,dt =-\Bigl[\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{e^{-2s}-e^{-s}}{s}.
Então
\int_{0}^{2}e^{-st}f(t)\,dt =I_1+I_2 =\frac{1-e^{-s}}{s}+\frac{e^{-2s}-e^{-s}}{s} =\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s}.

Passo 4

Substituindo na fórmula periódica:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{1-e^{-2s}}\cdot\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s}.
Observamos que 1-2e^{-s}+e^{-2s}=(1-e^{-s})^2 e 1-e^{-2s}=(1-e^{-s})(1+e^{-s}). Cancelando o fator comum 1-e^{-s}, obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1-e^{-s}}{s\,(1+e^{-s})}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1-e^{-s}}{s\,(1+e^{-s})}.

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