Solução:
A Transformada de Laplace de uma função periódica de período T é dada por:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{1-e^{-s T}} \int_{0}^{T} e^{-s t} f(t) d t
Então para a função considerada neste exercício temos:
\begin{gathered} \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{1-e^{-2 s}} \int_{0}^{2} e^{-s t} f(t) d t=\frac{1}{1-e^{-2 s}}\left[\int_{0}^{1} e^{-s t} d t+\int_{1}^{2}-e^{-s t} d t\right]= \\\ =\frac{1}{1-e^{-2 s}}\left[-\frac{1}{s} \int_{0}^{1} e^{-s t} \cdot(-s) d t+\frac{1}{s} \int_{1}^{2}-e^{-s t} \cdot s d t\right]= \\\ =\frac{1}{1-e^{-2 s}}\left[-\left.\frac{1}{s} e^{-s t}\right|_{0} ^{1}+\left.\frac{1}{s} e^{-s t}\right|_{1} ^{2}\right]= \\\ =\frac{1}{1-e^{-2 s}}\left[-\frac{1}{s} e^{-s}+\frac{1}{s}+\frac{1}{s} e^{-2 s}-\frac{1}{s} e^{-s}\right]=\frac{1-2 e^{-s}+e^{-2 s}}{s\left(1-e^{-2 s}\right)}= \\\ =\frac{\left(1-e^{-s}\right)^{2}}{s\left(1-e^{-s}\right)\left(1+e^{-s}\right)}=\frac{1-e^{-s}}{s\left(1+e^{-s}\right)} \end{gathered}
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período T=2\) definida por
\[f(t)= \begin{cases} 1, & 0<t\le1,\\\\ -1,&1<t\le2, \end{cases}
que se repete a cada intervalo de comprimento 2. Precisamos encontrar (\mathcal{L}{f(t)}] usando a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.
Passo 2
A fórmula para a transformada de Laplace de uma função periódica de período T é