Usando a propriedade da linearidade e as Transformadas básicas de Laplace, determine:
\mathcal{L}\left\{\left(t+e^{-t}\right)^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{(t+e^{-t})^2\}.
Aqui usamos a propriedade da linearidade da transformada e as fórmulas básicas para potências de t e exponenciais do tipo e^{-at}.

Passo 2

Expandimos o quadrado:
(t+e^{-t})^2 \;=\; t^2 \;+\; 2\,t\,e^{-t} \;+\; e^{-2t}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{t^2 + 2\,t\,e^{-t} + e^{-2t}\} \;=\; \mathcal{L}\{t^2\} \;+\; 2\,\mathcal{L}\{t\,e^{-t}\} \;+\; \mathcal{L}\{e^{-2t}\}.

Passo 4

Usamos as transformadas básicas:
\mathcal{L}\{t^2\} = \frac{2}{s^3}, \quad \mathcal{L}\{t\,e^{-t}\} = \frac{1}{(s+1)^2}, \quad \mathcal{L}\{e^{-2t}\} = \frac{1}{s+2}.

Passo 5

Substituindo em (3) e somando os resultados, obtemos
\mathcal{L}\{(t+e^{-t})^2\} = \frac{2}{s^3} + 2\cdot\frac{1}{(s+1)^2} + \frac{1}{s+2}.

Resposta

\frac{2}{s^3} \;+\; \frac{2}{(s+1)^2} \;+\; \frac{1}{s+2}.

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